Retta

La retta è il secondo ente geometrico più semplice ed è unidimensionale (ha, per così dire, solo la lunghezza). La retta è, detto in parole semplici, una linea dritta infinitamente lunga, che non ha né fine né inizio.

Proprietà fondamentali

Di solito la retta si indica con una lettera minuscola, ad esempio r. Di solito una retta è individuata da due punti, perché per due punti qualsiasi passa una sola retta. Esiste anche la semiretta, simile alla retta, con la differenza che ha un’origine (ma continua a non avere una fine). Ad esempio, i lati degli angoli sono formati da semirette.

Scrittura della retta nel piano

Se ci troviamo nel piano, possiamo scrivere la retta per mezzo di una funzione lineare, il cui grafico è sempre una retta. Purtroppo questo metodo non funziona nello spazio, perché con una funzione lineare non si può descrivere la terza dimensione. Tuttavia, nel piano la funzione lineare è il modo più semplice per descrivere una qualsiasi retta che non sia parallela all’asse y. Se hai la funzione, da essa ricavi senza difficoltà la retta, ma al contrario può essere un problema. Consideriamo dunque una retta disegnata così:

L’espressione di una funzione lineare è fatta così: y = mx + q. Per prima cosa troviamo q, il termine noto. Il modo più semplice è leggere dal grafico dove la retta interseca l’asse y, cioè quando x vale zero. Vediamo che è due, quindi sarà q = 2. Il motivo è che, quando mx è uguale a zero, l’unico modo per ottenere come y il valore due nell’espressione y = mx + q è che il termine noto sia uguale a due.

Ora dobbiamo scoprire quanto vale m. Adesso sarà più comodo eliminare per un momento il termine noto e supporre che sia nullo. La retta si sposta allora nell’origine del sistema di riferimento e a noi risulta più facile determinare m:

Vediamo chiaramente che nel punto x = 6 la y vale 2. Sostituiamo questa informazione nell’espressione della funzione: 6m + 0 = 2. Da qui ricaviamo facilmente che $m=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Ora che conosciamo il valore di m, possiamo scrivere l’intera espressione della funzione, e quindi della retta: y=1/3x+2.

$$y=\frac{x}{3}+2$$

Posizioni reciproche delle rette

Due rette nel piano possono avere diverse posizioni reciproche. Cominciamo dunque con le posizioni reciproche nel piano.

Se hai due rette che giacciono una sull’altra e coincidono in una sola – hanno in comune tutti i punti – si dicono rette coincidenti. Se le rette si intersecano in un solo punto, si dicono rette incidenti. Se le rette non si intersecano in nessun punto, si dicono rette parallele. Le rette parallele di solito si contrassegnano con due trattini su ciascuna retta, come si vede nell’ultima figura. Le figure seguenti riassumono il tutto con chiarezza:

Come determinare la posizione reciproca di due rette lo scoprirai in un articolo a parte, nella sezione di geometria analitica. Nella stessa categoria trovi anche il procedimento per ricavare l’equazione implicita della retta, le equazioni parametriche della retta e la forma esplicita della retta.