Calcolo con le percentuali

Le percentuali indicano di solito una parte relativa di un intero, e l’intero stesso si esprime come 100%. Le percentuali si possono sempre scrivere come frazione.

La percentuale come parte di un intero

Usiamo le percentuali quando vogliamo esprimere una parte di un intero. Con le percentuali possiamo sostituire espressioni come «un quarto della classe ha preso un’insufficienza» o «una persona su due è un uomo». Abbiamo sempre un intero, per esempio tutta la classe, e poi diciamo che un quarto degli alunni ha preso un’insufficienza. Se in classe ci sono 32 alunni e un quarto di loro ha preso un’insufficienza, il numero totale di alunni con l’insufficienza sarà uguale a:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{che è lo stesso di}\frac{32}{4}=8$$

Nel secondo caso possiamo avere una città, diciamo Cuneo. Ha circa 60.000 abitanti. Se un abitante su due è un uomo, significa che metà di loro sono uomini, e lo scriviamo come:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{che è lo stesso di}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Potremmo anche dire che «un abitante di Cuneo su cento è un matematico». Allora a Cuneo avremmo $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ matematici. «Uno su cento» è lo stesso che «un centesimo degli abitanti».

Ora possiamo introdurre il concetto di percentuale. Un per cento, che scriviamo 1%, indica un centesimo dell’intero. Questo significa che quando diciamo «un abitante di Cuneo su cento è un matematico» e «l’uno per cento degli abitanti di Cuneo sono matematici», diciamo la stessa cosa. L’uno per cento di un intero si calcola moltiplicando l’intero per $\frac{1}{100}$ oppure dividendolo per 100, è lo stesso.

Le percentuali si possono convertire facilmente in frazioni e lavorare poi con queste. Se dicessimo che «a Cuneo l’x% delle persone ha i capelli scuri», sarebbe come dire «a Cuneo $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ persone hanno i capelli scuri». Il 100% rappresenta quindi l’intero, cioè tutti gli abitanti. La frase «il 100% degli alunni è stato promosso» significa che sono stati promossi tutti gli alunni. La frase «lo 0% degli alunni è stato bocciato» dice che nessuno è stato bocciato. Esempi:

1. Il 35% degli abitanti di Cuneo va in autobus. Quante persone vanno in autobus? Il 35 % è lo stesso che $\frac{35}{100}$ dell’intero (= «trentacinque centesimi dell’intero»). Calcoliamo così: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Si può calcolare semplicemente dividendo prima 60.000 per cento e moltiplicando questo risultato per 35. In sostanza facciamo questa trasformazione:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Possiamo immaginarlo così: calcoliamo prima il numero di abitanti che corrisponde a un per cento: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. A un per cento corrispondono 600 abitanti. Noi vogliamo conoscere il 35% degli abitanti, quindi moltiplichiamo questi 600 abitanti per 35: 35 · 600 = 21.000.

2. Marco guadagna in media 20 € al giorno. Oggi ha guadagnato solo il 75% del suo guadagno medio. Quanto ha guadagnato Marco? Il procedimento è sempre lo stesso. L’intero è 20 e il 75% lo convertiamo nella frazione $\frac{75}{100}$. Questa frazione si può ancora semplificare nella frazione $\frac{3}{4}$. Moltiplichiamo l’intero per questa frazione:

   $$\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=3\cdot 5=15$$

3. Il giorno dopo Marco si è rifatto e ha guadagnato il 150% del suo guadagno medio. Quanto ha guadagnato? Si può avere più del 100%, se abbiamo detto che il 100% rappresenta l’intero? Sì, si può. Come qualcuno può guadagnare «tre volte più soldi della media», così qualcuno può guadagnare il 150% della sua media.

   Procediamo esattamente allo stesso modo. Il 150% lo convertiamo nella frazione $\frac{150}{100}$ e con questa frazione moltiplichiamo il guadagno medio di Marco, cioè 20:

   $$\frac{150}{100}\cdot 20=\frac{150\cdot 20}{100}=\frac{150\cdot 1}{5}=150:5=30$$

Le percentuali come regola del tre

Una parte di un intero espressa in percentuale si può convertire facilmente in una regola del tre. Restiamo con Marco, che in media guadagna 20 € al giorno e oggi ha guadagnato il 75% del suo guadagno medio. Con la regola del tre possiamo scriverlo così:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 20\text{ euro}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ euro}\end{array}$$

Poiché si tratta di proporzionalità diretta, otteniamo la forma:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{20}$$

Moltiplichiamo l’equazione per 20 e abbiamo:

$$\frac{75\cdot 20}{100}=x$$

E da qui ricaviamo facilmente il risultato:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 20}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 1}{5}& =& x\\ x& =& 75:5\\ x& =& 15\end{array}$$

Vediamo che ci è venuto lo stesso numero.

E se conosciamo la parte e non l’intero?

Negli esempi precedenti abbiamo sempre dato per scontato di conoscere il valore esatto dell’intero e di dover calcolare una certa parte data in percentuale. Ma che cosa succede se conosciamo proprio la parte e non l’intero? Esempio: Marco ha 120 carte collezionabili con un grande mostro verde. Tuttavia, anche se è un numero rispettabile di carte di mostri verdi, ha comunque solo il sessanta per cento delle carte di Giulia. Quante carte ha Giulia?

Qui conosciamo la parte, ma non l’intero: dobbiamo ancora calcolarlo. A questo punto sappiamo che 120 carte corrispondono al 60% delle carte che ha Giulia. Per scoprire quante carte corrispondono a un per cento, ci basta dividere centoventi per sessanta. Otteniamo il due: 120/60 = 2. L’uno per cento delle carte corrisponde in realtà a due carte con il mostro verde. Poiché calcoliamo l’intero, che è sempre il 100%, moltiplichiamo questo numero di carte per cento. E abbiamo 200 carte, che è il risultato corretto.

Possiamo verificarlo calcolando il 60% di 200: moltiplichiamo semplicemente

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vediamo che il 60% di 200 corrisponde a 120, che è esattamente il numero di carte con il mostro verde che ha Marco.

Somma delle percentuali

Quando dobbiamo risolvere un problema in cui compaiono delle percentuali, la cosa migliore è calcolare i valori esatti al posto delle percentuali e poi sommarli. Il testo di un problema potrebbe quindi essere più o meno questo: Luca guadagna 1500 €, Francesco 2000 € e Chiara 2500 € al mese. Calcola ora quanti euro guadagna Sofia, che guadagna il 30% di quello che guadagna Luca più il 40% di quello che guadagna Francesco più il 25% di quello che guadagna Chiara.

Qui abbiamo tre espressioni con le percentuali, ma ogni espressione parte da un intero diverso. Luca, Francesco e Chiara guadagnano ciascuno una somma di denaro diversa. Quindi prima calcoliamo il 30% dello stipendio di Luca. Sono 1500/100 = 15. Poi moltiplichiamo 15 · 30 e otteniamo 450. Poi tocca al 40% dello stipendio di Francesco. Sono 2000/100 = 20. Di nuovo moltiplichiamo per 40 e abbiamo 20 · 40 = 800. L’ultima parte è il 25% di Chiara. Lei guadagna 2500 €, di cui l’uno per cento è 2500/100 = 25. Moltiplicando per 25 otteniamo 25 · 25 = 625. Ora non resta che sommare tutti i risultati parziali: 450 + 800 + 625 = 1875. Sofia guadagna 1875 €, che non è niente male.

Tuttavia può capitare che dobbiamo davvero sommare delle percentuali. Le percentuali si possono sommare solo se hanno lo stesso valore di riferimento, lo stesso intero. Quindi se per esempio Matteo guadagnasse il 20% di quello che guadagna Francesco più il 30% di quello che guadagna Francesco, possiamo sommare queste percentuali, perché si tratta dello stesso valore di riferimento: entrambe le espressioni partono dallo stipendio base di Francesco. Il risultato sarà quindi 20% + 30% = 50%. Matteo guadagnerebbe la metà di quello che guadagna Francesco, mille euro.

L’insidiosa somma a cascata delle percentuali

Immagina ora la situazione seguente: Andrea il primo anno guadagnava 1000 € al mese. Il secondo anno ha avuto un aumento e gli hanno alzato lo stipendio del 30%. L’anno successivo, il terzo, ha avuto di nuovo un aumento e gli hanno alzato di nuovo lo stipendio, anche se stavolta solo del 10%. La domanda è: che stipendio ha ora Andrea?

Questo tipo di esercizio spinge fortemente a sommare le percentuali come nel caso precedente. In fondo calcoliamo ancora, almeno in apparenza, sullo stesso valore di riferimento, lo stipendio di Andrea. Quindi calcoliamo 30% + 10% e lo aggiungiamo al suo stipendio iniziale. Andrea guadagnerebbe così 1400 €. Ma non è così. Rifacciamo i conti passo per passo.

Il primo anno guadagnava 1000 €. Il secondo anno guadagnava 1000 € + 30%. Sono 1300 €, come certamente hai già calcolato. E ora, l’anno successivo, gli hanno alzato lo stipendio del dieci per cento. Ma attenzione! Il valore di riferimento non sono più i mille euro del primo anno. Il valore di riferimento ora è milletrecento! E, come sappiamo, possiamo sommare le percentuali solo se sono calcolate sullo stesso valore di riferimento. E nel nostro caso il valore di riferimento è diverso. La prima volta erano 1000 e ora sono 1300. Quindi l’ultimo anno Andrea guadagnava 1300 € + 10%, che fa 1430 €.

La soluzione con 1400 € non solo era sbagliata, ma ha anche privato il povero Andrea di 30 €. Non essere cattivo con Andrea!

Compra il libro di matematica in saldo!

Un esempio classico è anche quello con lo sconto. Immagina che in un negozio abbiano il libro di matematica che desidereresti tanto ricevere in regalo per il compleanno. Del resto, che altro desidereresti, no? :-)

Prima di Natale però il libro rincara del 20 %. Decidi che puoi aspettare e comprarlo dopo Natale. Hai fatto bene, perché dopo le feste il negozio ha scontato il libro del 20 %. La domanda è: il libro costa come prima del rincaro? O costa di più o di meno?

Anche qui il buon senso suggerisce a qualcuno che il libro costerà lo stesso, ma non è vero. Calcoliamolo. Poniamo che il libro costasse 12 €. Il rincaro del 20% significa che il prezzo del libro è aumentato di $\frac{20}{100}\cdot 12=2,40$ €. Il libro costava quindi 14,40 €.

Ma lo sconto del 20% non si calcola più sulla base di 12, bensì sulla base di 14,40. Questo significa che il prezzo del libro scende di $\frac{20}{100}\cdot 14,40=2,88$ €. Il libro dopo lo sconto costa 11,52 €.

(Ma a dire il vero, chi comprerebbe un libro di matematica, se ci sono io per te con questo sito ;-))

Per mille

In molti paesi il per mille si usa soprattutto per misurare l’alcol nel sangue di un conducente. Alcune persone credono erroneamente che il per mille sia un millesimo del per cento, ma è un errore, fai attenzione. Il per mille è la millesima parte dell’intero. Per il resto, con il per mille si calcola esattamente come con le percentuali. Se vuoi trovare l’x per mille di 5000, lo calcoli come $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Al posto di 100 al denominatore della frazione c’è 1000. Il tre per mille di 5000 è quindi $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Il per mille si indica con il simbolo ‰. Vale che $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Per saperne di più, leggi l’articolo dedicato al per mille.

Tipografia della percentuale

In italiano il segno % si scrive di solito attaccato al numero: «il 100%». Con lo spazio («100 %») lo scrivono le norme internazionali e altre lingue, ma in italiano è un’eccezione. Pensaci, per favore, quando scrivi, e non ti agitare troppo quando sui giornali lo scrivono in un altro modo :-).

Punto percentuale

Oltre alle normali percentuali possiamo avere anche i punti percentuali. Qual è la differenza? Immagina che due anni fa il browser Firefox lo usasse il 20 % delle persone, ma quest’anno lo usa già il 30% delle persone. Qual è l’aumento tra questi due anni? Sarebbe un errore dire che l’aumento è del dieci per cento. Se Firefox lo usava prima il 20% delle persone e poi il 30%, significa che il numero di utenti è aumentato della metà. Il che significa un aumento del cinquanta per cento.

Ma è un po’ strano dire che l’aumento è del 50%, quando per tutti sarebbe più comprensibile dire che la percentuale è salita di dieci. E proprio per questo abbiamo i punti percentuali. In questo caso possiamo dire che l’aumento dell’uso del browser Firefox è di dieci punti percentuali. I punti percentuali possiamo usarli quando vogliamo esprimere una semplice differenza tra due dati percentuali.