Unione, intersezione, differenza e complemento di insiemi

Tra gli insiemi possiamo eseguire varie operazioni. Le principali sono l’unione, l’intersezione, la differenza e il complemento.

Unione di insiemi

L’unione di insiemi si indica con il simbolo ∪, quindi l’unione degli insiemi A e B si scrive, come di consueto, A ∪ B. Dall’unione degli insiemi A e B nasce un nuovo insieme, che contiene tutti gli elementi di A e anche tutti gli elementi di B. Definizione:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Esempio: siano dati due insiemi A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 4, 6}. Dall’unione nasce l’insieme A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. L’insieme ottenuto contiene gli elementi di entrambi gli insiemi.

Un altro esempio: A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. Con l’unione otteniamo A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Gli elementi 2 e 3 non compaiono due volte nell’insieme ottenuto, perché un insieme non contiene lo stesso elemento più di una volta.

Altre proprietà:

• A ∪ A = A: se uniamo due insiemi uguali, otteniamo di nuovo lo stesso insieme.
• A ∪ B = B ∪ A: l’unione è commutativa, l’ordine non conta.
• A ∪ ∅ = A: l’insieme vuoto non contiene alcun elemento, quindi non c’è nulla da unire.

Intersezione di insiemi

Dall’intersezione di due insiemi A e B nasce un nuovo insieme, che contiene gli elementi che i due insiemi hanno in comune. Più precisamente, il nuovo insieme contiene gli elementi che appartengono ad A e allo stesso tempo appartengono a B. L’intersezione si indica con il simbolo ∩. Definizione:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Esempio: A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {4, 5, 6, 7}. L’intersezione è A ∩ B = {5, 7}. Un altro esempio: A = {a, b, c, d, e} e B = {f, g, h, i, j}. L’intersezione è A ∩ B = ∅. Questi insiemi non hanno alcun elemento in comune, quindi la loro intersezione è l’insieme vuoto.

Altre proprietà:

• A ∩ A = A: l’intersezione di due insiemi uguali è di nuovo lo stesso insieme.
• A ∩ B = B ∩ A: l’intersezione è commutativa, l’ordine non conta.
• A ∩ ∅ = ∅: l’insieme vuoto non contiene alcun elemento, quindi di sicuro non ha alcun elemento in comune con l’insieme A.

Differenza di insiemi

La differenza di insiemi si indica con il simbolo standard del meno − oppure, meglio, con un meno obliquo ∖. Per differenza di due insiemi A e B intendiamo l’insieme che contiene tutti gli elementi di A e allo stesso tempo non contiene alcun elemento di B. In breve: guardi quali elementi il primo insieme ha in comune con il secondo e li togli. Definizione:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Esempio: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. La differenza è A ∖ B = {1, 2, 3}. Sono gli elementi che ci restano quando dall’insieme A togliamo tutti gli elementi che sono nell’insieme B. Un altro esempio: A = {a, b, d, e}. La differenza A ∖ A = ∅.

Altre proprietà:

• A ∖ A = ∅: come sottraendo due numeri uguali otteniamo zero (ad es. 5 − 5 = 0), così sottraendo due insiemi uguali otteniamo l’insieme vuoto.
• A ∖ ∅ = A: l’insieme vuoto non contiene alcun elemento, quindi dall’insieme A non possiamo togliere nulla.

Complemento di un insieme

Il complemento di un insieme A si indica in vari modi, ma probabilmente i più comuni sono A^c oppure la barra sopra: $\bar{A}$. Per semplicità userò la prima notazione. Per calcolare il complemento di A dobbiamo sapere rispetto a quale insieme lo calcoliamo. Il complemento di un insieme rappresenta infatti tutti gli elementi che non sono nell’insieme A, quindi è una sorta di opposto dell’insieme A.

Se come insieme universo prendiamo M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, il complemento dell’insieme A = {2, 4, 6, 8, 10} rispetto a M è l’insieme A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Contiene tutti gli elementi di M che non sono in A. Possiamo dire che A^c rispetto a M è uguale a M ∖ A.

Se come insieme universo prendiamo i numeri interi, il complemento dell’insieme dei numeri pari è l’insieme dei numeri dispari. Il complemento dell’insieme A = {1, 2, 3, 4} sarà l’insieme A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Per il complemento vale che, applicandolo due volte, riotteniamo l’insieme di partenza. Ad esempio sui numeri interi: il complemento dei numeri pari è l’insieme dei numeri dispari, e il complemento dei numeri dispari è di nuovo l’insieme dei numeri pari. Quindi vale A = (A^c)^c (il complemento del complemento di A).