Асоциативност

Асоциативността (съдружителният закон) е свойство на операции като например събирането или умножението. Погледни например следните два записа на събиране:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Изразите се различават само по това къде е скобата. Различават ли се обаче резултатите? И двата израза водят до един и същ резултат, сборът винаги е равен на 6. Ако поставянето на скобите не влияе на резултата, казваме, че операцията е асоциативна. По-точно можем да запишем, че операцията a ∘ b е асоциативна, ако е изпълнено

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Друга операция, която е асоциативна, е умножението, защото е изпълнено

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Операции, които не са асоциативни

Изваждането не е асоциативно. За пример можем да вземем израза (10 − 4) − 3. Първо пресмятаме разликата в скобата и получаваме 6 − 3, което е равно на 3. Ако обаче опитаме да пресметнем 10 − (4 − 3), отново първо пресмятаме съдържанието на скобата и получаваме 10 − 1, което е 9. Операцията изваждане следователно не е асоциативна.

Подобно не е асоциативна и операцията деление. За пример вземаме израза (64 / 4) / 2. Първо пресмятаме скобата и получаваме 16/2, което е 8. Ако обаче поставим скобата другаде, получаваме 64 / (4 / 2) и след пресмятане на скобата имаме 64 / 2, което е 32. Операцията деление следователно не е асоциативна.

Друга типична операция, която не е асоциативна, е степенуването:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Асоциативността се отнася до една операция!

Внимавай, че асоциативността винаги се отнася до една операция. Ако имаме израз с три числа, но не с една и съща операция, не можем да приложим асоциативното правило. За пример:

$$(1+2)\cdot 3$$

изразът съдържа две операции – събиране и умножение. И двете операции сами по себе си са асоциативни, но въпреки това в този момент не можем да приложим асоциативното правило, не можем да го преобразуваме в

$$1+(2\cdot 3)$$

защото изразът съдържа две различни операции. За да можем да приложим асоциативното правило, и двете операции трябва да са събиране или и двете операции да са умножение.

Сечение и обединение

Сечението на множества е асоциативно. За пример:

$$(\{1;2;3\}\cap \{1;3;5\})\cap \{1;5;7\}$$

първо бихме пресметнали сечението на множествата в скобата и бихме получили

$$\{1;3\}\cap \{1;5;7\}$$

А сечението на тези множества е равно на {1}. Ако бяхме разместили скобите, щяхме да получим

$$\{1;2;3\}\cap (\{1;3;5\}\cap \{1;5;7\})$$

и след преобразуване на скобата:

$$\{1;2;3\}\cap \{1;5\}$$

И пак щяхме да получим {1}. Виждаме, че поставянето на скобите няма значение и затова сечението на множества е асоциативно. Подобно би било асоциативно и обединението на множества.

Съставяне на думи / конкатенация

Представи си, че имаме операция събиране за части от думи и тя означава просто слепване на думите. Т.е. „ком“ + „пютър“ би било равно на думата „компютър“. Такава операция би била асоциативна. За пример, ако запишем („кла“ + „виа“) + „тура“, първо, като съберем частите в скобата, получаваме „клавиа“ + „тура“, което ни дава думата „клавиатура“. Ако разместим скобите „кла“ + („виа“ + „тура“), получаваме след събирането в скобата „кла“ + „виатура“, което отново ни дава думата „клавиатура“.

Максимумът или минимумът е асоциативен

Нека си представим операцията a ∨ b, която връща по-голямото от две числа. Такава операция би била асоциативна. За пример (5 ∨ 10) ∨ 7 бихме преобразували в 10 ∨ 7 и това би било равно на 10. Числото 10 е най-голямото от трите числа. Ако разместим скобите, получаваме 5 ∨ (10 ∨ 7), след преобразуване 5 ∨ 10, което отново е 10.

Минимумът би се държал по съвсем същия начин.