Assoziativgesetz

Die Assoziativität ist eine Eigenschaft von Operationen wie zum Beispiel der Addition oder der Multiplikation. Schau dir einmal die folgenden zwei Schreibweisen der Addition an:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Die Terme unterscheiden sich nur darin, wo die Klammer steht. Unterscheiden sich aber auch die Ergebnisse? Beide Terme führen auf dasselbe Ergebnis, die Summe ist immer gleich 6. Wenn die Stellung der Klammern keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, sagen wir, dass die Operation assoziativ ist. Genauer können wir schreiben, dass die Operation a ∘ b assoziativ ist, wenn gilt

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Eine weitere assoziative Operation ist die Multiplikation, denn es gilt

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operationen, die nicht assoziativ sind

Die Subtraktion ist nicht assoziativ. Nehmen wir als Beispiel den Term (10 − 4) − 3. Zuerst berechnen wir die Differenz in der Klammer und erhalten 6 − 3, das ist gleich 3. Wenn wir aber 10 − (4 − 3) berechnen, rechnen wir wieder zuerst den Inhalt der Klammer aus und erhalten 10 − 1, das ist 9. Die Operation der Subtraktion ist also nicht assoziativ.

Ähnlich ist auch die Division nicht assoziativ. Nehmen wir als Beispiel den Term (64 / 4) / 2. Als Erstes berechnen wir die Klammer und erhalten 16/2, das ist 8. Wenn wir die Klammer aber an eine andere Stelle setzen, erhalten wir 64 / (4 / 2), und nach der Berechnung der Klammer haben wir 64 / 2, das ist 32. Die Division ist also nicht assoziativ.

Eine weitere typische Operation, die nicht assoziativ ist, ist die Potenz:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Die Assoziativität betrifft eine einzige Operation!

Achte darauf, dass sich die Assoziativität immer auf eine einzige Operation bezieht. Haben wir einen Term mit drei Zahlen, in dem aber nicht überall dieselbe Operation vorkommt, können wir das Assoziativgesetz nicht anwenden. Zum Beispiel:

$$(1+2)\cdot 3$$

Der Term enthält zwei Operationen – Addition und Multiplikation. Beide Operationen sind für sich genommen assoziativ, trotzdem können wir das Assoziativgesetz hier nicht anwenden, wir können den Term nicht umformen zu

$$1+(2\cdot 3)$$

denn der Term enthält zwei verschiedene Operationen. Um das Assoziativgesetz anwenden zu können, müssten beide Operationen Additionen oder beide Operationen Multiplikationen sein.

Schnittmenge und Vereinigungsmenge

Die Schnittmenge ist assoziativ. Zum Beispiel:

$$(\{1;2;3\}\cap \{1;3;5\})\cap \{1;5;7\}$$

würden wir zuerst so umformen, dass wir die Schnittmenge in der Klammer berechnen, und zwar zu

$$\{1;3\}\cap \{1;5;7\}$$

Und die Schnittmenge dieser Mengen ist gleich {1}. Wenn wir die Klammern anders setzen würden, erhielten wir

$$\{1;2;3\}\cap (\{1;3;5\}\cap \{1;5;7\})$$

und nach der Umformung der Klammer:

$$\{1;2;3\}\cap \{1;5\}$$

Und wieder würden wir {1} erhalten. Wir sehen, dass es auf die Stellung der Klammern nicht ankommt, und deshalb ist die Schnittmenge assoziativ. Ähnlich wäre auch die Vereinigungsmenge assoziativ.

Aneinanderreihen von Wörtern / Verkettung

Stell dir vor, wir hätten eine Operation der Addition für Wortteile, die einfach das Zusammenfügen von Wörtern bedeuten würde. Also wäre „Hand“ + „schuh“ gleich dem Wort „Handschuh“. Eine solche Operation wäre assoziativ. Wenn wir zum Beispiel („Hand“ + „sch“) + „uh“ schrieben, bekämen wir durch die Addition in der Klammer zuerst „Handsch“ + „uh“, und das ergäbe das Wort „Handschuh“. Wenn wir die Klammern anders setzen würden, „Hand“ + („sch“ + „uh“), erhielten wir nach der Addition in der Klammer „Hand“ + „schuh“, und das ergäbe wieder das Wort „Handschuh“.

Maximum oder Minimum ist assoziativ

Stellen wir uns eine Operation a ∨ b vor, die uns die größere von zwei Zahlen liefert. Eine solche Operation wäre assoziativ. Zum Beispiel würden wir (5 ∨ 10) ∨ 7 zu 10 ∨ 7 umformen, und das wäre gleich 10. Die Zehn ist von diesen drei Zahlen die größte. Wenn wir die Klammern umsetzen würden, erhielten wir 5 ∨ (10 ∨ 7), nach der Umformung 5 ∨ 10, das ist wieder 10.

Das Minimum würde sich ganz genauso verhalten.