Liitännäisyys

Liitännäisyys on esimerkiksi yhteenlaskun ja kertolaskun kaltaisten laskutoimitusten ominaisuus. Katso esimerkiksi seuraavia kahta yhteenlaskun merkintää:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Lausekkeet eroavat vain siinä, missä sulut ovat. Eroavatko tulokset? Molemmat lausekkeet johtavat samaan tulokseen, summa on aina 6. Jos sulkujen sijoittelulla ei ole vaikutusta tulokseen, sanomme, että laskutoimitus on liitännäinen. Tarkemmin voimme kirjoittaa, että laskutoimitus a ∘ b on liitännäinen, jos pätee

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Toinen liitännäinen laskutoimitus on kertolasku, koska pätee

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Laskutoimitukset, jotka eivät ole liitännäisiä

Vähennyslasku ei ole liitännäinen. Otetaan esimerkiksi lauseke (10 − 4) − 3. Lasketaan ensin sulkeissa oleva erotus, jolloin saamme 6 − 3, mikä on 3. Kun kuitenkin yritämme laskea 10 − (4 − 3), lasketaan taas ensin sulkeiden sisältö ja saamme 10 − 1, mikä on 9. Vähennyslasku ei siis ole liitännäinen.

Samoin jakolasku ei ole liitännäinen. Otetaan esimerkiksi lauseke (64 / 4) / 2. Lasketaan ensin sulkeet ja saamme 16/2, mikä on 8. Kun kuitenkin sijoitamme sulkeet toiseen paikkaan, saamme 64 / (4 / 2), ja sulkeiden laskemisen jälkeen meillä on 64 / 2, mikä on 32. Jakolasku ei siis ole liitännäinen.

Toinen tyypillinen laskutoimitus, joka ei ole liitännäinen, on potenssi:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Liitännäisyys koskee yhtä laskutoimitusta!

Huomaa, että liitännäisyys koskee aina yhtä laskutoimitusta. Jos meillä on lauseke, jossa on kolme lukua mutta laskutoimitukset eivät ole samat, emme voi käyttää liitännäisyyssääntöä. Esimerkiksi:

$$(1+2)\cdot 3$$

lausekkeessa on kaksi laskutoimitusta – yhteenlasku ja kertolasku. Kumpikin laskutoimitus on itsessään liitännäinen, mutta silti emme tässä voi käyttää liitännäisyyssääntöä, emme voi muokata lauseketta muotoon

$$1+(2\cdot 3)$$

koska lausekkeessa on kaksi eri laskutoimitusta. Jotta voisimme käyttää liitännäisyyssääntöä, molempien laskutoimitusten pitäisi olla yhteenlaskuja tai molempien kertolaskuja.

Leikkaus ja yhdiste

Joukkojen leikkaus on liitännäinen. Esimerkiksi lauseke:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

sievennettäisiin ensin laskemalla sulkeissa olevien joukkojen leikkaus muotoon

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Ja näiden joukkojen leikkaus on {1}. Jos vaihtaisimme sulkeet, saisimme

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

ja sulkeiden sievennyksen jälkeen:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Ja taas saisimme {1}. Näemme, että sulkujen paikalla ei ole väliä, ja siksi joukkojen leikkaus on liitännäinen. Samoin liitännäinen olisi joukkojen yhdiste.

Sanojen liittäminen eli konkatenaatio

Kuvitellaan, että meillä olisi yhteenlaskun kaltainen laskutoimitus sanan osille ja se tarkoittaisi yksinkertaisesti sanojen liittämistä yhteen. Eli ”tieto” + ”kone” olisi sana ”tietokone”. Tällainen laskutoimitus olisi liitännäinen. Jos esimerkiksi kirjoittaisimme (”hehku” + ”lam”) + ”ppu”, saisimme ensin sulkeet laskemalla ”hehkulam” + ”ppu”, mikä antaisi sanan ”hehkulamppu”. Jos vaihtaisimme sulkeet: ”hehku” + (”lam” + ”ppu”), saisimme sulkeiden laskemisen jälkeen ”hehku” + ”lamppu”, mikä antaisi taas sanan ”hehkulamppu”.

Maksimi ja minimi ovat liitännäisiä

Kuvitellaan laskutoimitus a ∨ b, joka palauttaa kahdesta luvusta suuremman. Tällainen laskutoimitus olisi liitännäinen. Esimerkiksi (5 ∨ 10) ∨ 7 sievennettäisiin muotoon 10 ∨ 7, ja se olisi 10. Kymmenen on näistä kolmesta luvusta suurin. Jos järjestelisimme sulkeet uudelleen, saisimme 5 ∨ (10 ∨ 7), sievennettynä 5 ∨ 10, mikä on taas 10.

Minimi käyttäytyisi täsmälleen samoin.