Binom egyenletek

A binom egyenlet algebrai egyenlet.

Definíció

A binom egyenlet általános alakja a következő:

$$a{x}^n+b=0,$$

ahol a, b tetszőleges valós vagy komplex számok. Feltesszük továbbá, hogy a, b ≠ 0, és hogy n pozitív természetes szám.

A binom egyenlet speciális esetei:

• n = 1: az egyenlet alakja ekkor ax + b = 0, és elsőfokú egyenletről van szó.
• n = 2: az egyenlet alakja ax² + b = 0, és másodfokú egyenletről van szó.

Minden binom egyenletet normált alakra hozhatunk úgy, hogy az egyenletet elosztjuk az a számmal. Az egyenlet ekkor ilyen alakú lesz:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Helyettesítést is végezhetünk, és a b/a tört helyett írhatunk c-t. Tehát ha c = b/a, akkor az egyenlet alakja:

$$x^n+c=0$$

Hogyan oldjuk meg a binom egyenletet

Az egyenletet először normált alakra hozzuk, majd a c-t átvisszük a jobb oldalra, és így az egyenlet

$$x^n=-c$$

alakú lesz. Ezután az egész egyenletből n-edik gyököt vonunk.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Ezt az egyenletet ezután a komplex számokból való gyökvonás képletével oldjuk meg. A képlet így néz ki:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

ahol

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

és az egész képlet a k = 0, 1, …, n − 1 értékekre érvényes.

Példa: számítsuk ki az x³ − 4 = 0 egyenlet gyökeit. Normálás és gyökvonás után az egyenlet alakja:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Mivel a −c = 4 szám nem tartalmaz képzetes részt, az α szög nulla lesz, így kihagyhatjuk a képletből. A k-adik gyök alakja:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Most ezt a képletet kell alkalmaznunk a k = 0, 1, 2 értékekre. k = 0 esetén ezt kapjuk:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

k = 1 esetén:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

k = 2 esetén:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

És ennyi, megvan a három gyök, az x₀, az x₁ és az x₂.