Binomische Gleichungen

Eine binomische Gleichung ist eine algebraische Gleichung.

Definition

Die allgemeine Form einer binomischen Gleichung sieht so aus:

$$a{x}^n+b=0,$$

wobei a, b beliebige reelle oder komplexe Zahlen sind. Außerdem setzen wir voraus, dass a, b ≠ 0 ist und dass n eine natürliche Zahl ist.

Spezialfälle der binomischen Gleichung:

• n = 1: Die Gleichung hat dann die Form ax + b = 0 und es handelt sich um eine lineare Gleichung.
• n = 2: Die Gleichung hat die Form ax² + b = 0 und es handelt sich um eine quadratische Gleichung.

Jede binomische Gleichung können wir in die Normalform bringen, indem wir die Gleichung durch die Zahl a dividieren. Die Gleichung hat dann die Form:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Wir können noch eine Substitution durchführen und statt des Bruchs b/a einfach c schreiben. Wenn also c = b/a ist, hat die Gleichung die Form:

$$x^n+c=0$$

Wie löst man eine binomische Gleichung

Zuerst bringen wir die Gleichung in die Normalform, anschließend bringen wir c auf die rechte Seite und erhalten so die Gleichung

$$x^n=-c$$

Dann ziehen wir aus der ganzen Gleichung die n-te Wurzel.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Diese Gleichung lösen wir dann mit der Formel zum Wurzelziehen aus komplexen Zahlen. Sie sieht so aus:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

wobei

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

gilt und die ganze Formel für k = 0, 1, …, n − 1 gilt.

Beispiel: Berechne die Lösungen der Gleichung x³ − 4 = 0. Nach der Normierung und dem Wurzelziehen hat die Gleichung die Form:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Da die Zahl −c = 4 keinen Imaginärteil hat, ist der Winkel α gleich null und wir können ihn aus der Formel weglassen. Die k-te Lösung der Gleichung hat die Form:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Nun müssen wir diese Formel für k = 0, 1, 2 anwenden. Für k = 0 erhalten wir:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Für k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Für k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Das ist alles, wir haben drei Lösungen x₀, x₁ und x₂.