Binom Denklemi

Binom denklemi bir cebirsel denklemdir.

Tanım

Binom denkleminin genel biçimi şöyledir:

$$a{x}^n+b=0,$$

burada a, b keyfi gerçek ya da karmaşık sayılardır. Ayrıca a, b ≠ 0 olduğunu ve n’nin bir pozitif tam sayı olduğunu varsayarız.

Binom denkleminin özel durumları:

• n = 1: Denklem ax + b = 0 biçimini alır ve bir birinci dereceden denklemdir.
• n = 2: Denklem ax² + b = 0 biçimindedir ve bir ikinci dereceden denklemdir.

Her binom denklemini, denklemi a sayısına bölerek baş katsayısı 1 olan biçime getirebiliriz. Denklem o zaman şu biçimde olur:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Ayrıca değişken değiştirme yapıp b/a kesri yerine c yazabiliriz. Yani c = b/a ise denklem şu biçimde olur:

$$x^n+c=0$$

Binom Denklemi Nasıl Çözülür

Denklemi önce baş katsayısı 1 olan biçime getiririz, ardından c’yi sağ tarafa geçiririz ve denklemin şu biçimini elde ederiz:

$$x^n=-c$$

Sonra denklemin her iki tarafının n. dereceden kökünü alırız.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Bu denklemi, karmaşık sayıların kökünü alma formülüyle çözeriz. Formül şöyledir:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

burada

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

ve formülün tamamı k = 0, 1, …, n − 1 için geçerlidir.

Örnek: x³ − 4 = 0 denkleminin köklerini hesapla. Baş katsayıyı 1 yapıp kök aldıktan sonra denklem şu biçimde olur:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

−c = 4 sayısının sanal kısmı olmadığından α açısı sıfıra eşit olur ve onu formülden çıkarabiliriz. Denklemin k. kökü şu biçimde olur:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Şimdi bu formülü k = 0, 1, 2 için uygulamamız gerekiyor. k = 0 için şunu elde ederiz:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

k = 1 için:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

k = 2 için:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Hepsi bu kadar; x₀, x₁ ve x₂ olmak üzere üç kökümüz var.