Binomiske likninger

En binomisk likning er en algebraisk likning.

Definisjon

Den generelle formen til en binomisk likning ser slik ut:

$$a{x}^n+b=0,$$

der a, b er vilkårlige reelle eller komplekse tall. Videre forutsetter vi at a, b ≠ 0 og at n er et naturlig tall.

Spesialtilfeller av den binomiske likningen:

• n = 1: Likningen har da formen ax + b = 0 og er en lineær likning.
• n = 2: Likningen har formen ax² + b = 0 og er en andregradslikning.

Hver binomisk likning kan vi skrive om til normert form ved å dele likningen på tallet a. Likningen får da formen:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Vi kan også gjøre en substitusjon og skrive c i stedet for brøken b/a. Altså hvis c = b/a, får likningen formen:

$$x^n+c=0$$

Hvordan løse en binomisk likning

Først skriver vi om likningen til normert form, så flytter vi c over på høyre side, og da får vi likningen på formen

$$x^n=-c$$

Videre tar vi den n-te roten av hele likningen.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Videre løser vi denne likningen med formelen for å ta rot av komplekse tall. Den ser slik ut:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

der det gjelder at

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

og hele formelen gjelder for k = 0, 1, …, n − 1.

Eksempel: Regn ut løsningene av likningen x³ − 4 = 0. Etter normeringen og rotuttrekkingen har likningen formen:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Siden tallet −c = 4 ikke har noen imaginær del, blir vinkelen α lik null, og vi kan utelate den fra formelen. Den k-te løsningen av likningen får formen:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Nå må vi bruke denne formelen for k = 0, 1, 2. For k = 0 får vi:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

For k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

For k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Og det var alt, vi har tre løsninger x₀, x₁ og x₂.