Binomiaalvergelijkingen

Een binomiaalvergelijking is een algebraïsche vergelijking.

Definitie

De algemene vorm van een binomiaalvergelijking ziet er zo uit:

$$a{x}^n+b=0,$$

waarbij a, b willekeurige reële of complexe getallen zijn. Verder nemen we aan dat a, b ≠ 0 en dat n een natuurlijk getal is (dus 1, 2, 3, …).

Speciale gevallen van een binomiaalvergelijking:

• n = 1: De vergelijking heeft dan de vorm ax + b = 0 en is een lineaire vergelijking.
• n = 2: De vergelijking heeft de vorm ax² + b = 0 en is een kwadratische vergelijking.

Elke binomiaalvergelijking kunnen we omzetten naar de vorm met leidende coëfficiënt één door de vergelijking door het getal a te delen. De vergelijking heeft dan de vorm:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

We kunnen ook nog een substitutie uitvoeren en in plaats van de breuk b/a schrijven we c. Als c = b/a, heeft de vergelijking dus de vorm:

$$x^n+c=0$$

Hoe los je een binomiaalvergelijking op

De vergelijking zetten we eerst om naar de vorm met leidende coëfficiënt één, daarna brengen we c naar de rechterkant en zo krijgen we de vorm van de vergelijking

$$x^n=-c$$

Vervolgens trekken we uit de hele vergelijking de n-de wortel.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Vervolgens lossen we deze vergelijking op met de formule voor het worteltrekken uit complexe getallen. Die ziet er zo uit:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

waarbij geldt

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

en de hele formule geldt voor k = 0, 1, …, n − 1.

Voorbeeld: bereken de oplossingen van de vergelijking x³ − 4 = 0. Na het omzetten naar de vorm met leidende coëfficiënt één en het worteltrekken heeft de vergelijking de vorm:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Omdat het getal −c = 4 geen imaginair deel heeft, is de hoek α gelijk aan nul en kunnen we die uit de formule weglaten. De k-de oplossing van de vergelijking heeft de vorm:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Nu moeten we deze formule toepassen voor k = 0, 1, 2. Voor k = 0 krijgen we:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Voor k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Voor k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

En dat is alles, we hebben drie oplossingen x₀, x₁ en x₂.