Биномни уравнения

Биномното уравнение е алгебрично уравнение.

Определение

Общият вид на биномното уравнение изглежда така:

$$a{x}^n+b=0,$$

където a, b са произволни реални или комплексни числа. Освен това предполагаме, че a, b ≠ 0 и че n е естествено число.

Специални случаи на биномно уравнение:

• n = 1: Уравнението има вида ax + b = 0 и е линейно уравнение.
• n = 2: Уравнението има вида ax² + b = 0 и е квадратно уравнение.

Всяко биномно уравнение можем да приведем в нормиран вид, като разделим уравнението на числото a. Тогава уравнението ще има вида:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Можем още да направим полагане и вместо дробта b/a да пишем c. Т.е. ако c = b/a, уравнението ще има вида:

$$x^n+c=0$$

Как се решава биномно уравнение

Първо привеждаме уравнението в нормиран вид, след това преместваме c в дясната страна и така получаваме вида на уравнението

$$x^n=-c$$

След това коренуваме цялото уравнение с n-ти корен.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

След това решаваме това уравнение с помощта на формулата за коренуване на комплексни числа. Тя изглежда така:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

където

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

а цялата формула важи за k = 0, 1, …, n − 1.

Пример: пресметни корените на уравнението x³ − 4 = 0. След нормирането и коренуването уравнението ще има вида:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Тъй като числото −c = 4 няма имагинерна част, ъгълът α ще е равен на нула и можем да го изпуснем от формулата. k-тият корен на уравнението ще има вида:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Сега трябва да приложим тази формула за k = 0, 1, 2. За k = 0 получаваме:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

За k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

За k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

И това е всичко, имаме трите корена x₀, x₁ и x₂.