Binomiyhtälö

Binomiyhtälö on algebrallinen yhtälö.

Määritelmä

Binomiyhtälön yleinen muoto on

$$a{x}^n+b=0,$$

missä a, b ovat mielivaltaisia reaali- tai kompleksilukuja. Lisäksi oletetaan, että a, b ≠ 0 ja että n on positiivinen kokonaisluku.

Binomiyhtälön erikoistapaukset:

• n = 1: Yhtälö on tällöin muotoa ax + b = 0, ja se on ensimmäisen asteen yhtälö.
• n = 2: Yhtälö on muotoa ax² + b = 0, ja se on toisen asteen yhtälö.

Jokainen binomiyhtälö voidaan muuntaa normeerattuun muotoon jakamalla yhtälö luvulla a. Yhtälö on tällöin muotoa:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Voidaan vielä tehdä sijoitus ja merkitä murtoluvun b/a tilalle c. Jos siis c = b/a, yhtälö on muotoa:

$$x^n+c=0$$

Binomiyhtälön ratkaiseminen

Yhtälö muunnetaan ensin normeerattuun muotoon ja siirretään sitten c oikealle puolelle, jolloin saadaan yhtälö

$$x^n=-c$$

Seuraavaksi yhtälöstä otetaan n:s juuri.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Tämä yhtälö ratkaistaan kompleksilukujen juurenottokaavalla. Se on seuraava:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

kun

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

ja koko kaava pätee arvoilla k = 0, 1, …, n − 1.

Esimerkki: Laske yhtälön x³ − 4 = 0 juuret. Normeeraamisen ja juuren ottamisen jälkeen yhtälö on muotoa:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Koska luvulla −c = 4 ei ole imaginaariosaa, kulma α on nolla, ja se voidaan jättää pois kaavasta. Yhtälön k:s juuri on muotoa:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Nyt tämä kaava täytyy laskea arvoilla k = 0, 1, 2. Arvolla k = 0 saadaan:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Arvolla k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Arvolla k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Siinä kaikki: yhtälöllä on kolme juurta, x₀, x₁ ja x₂.