Ecuația binomă

Ecuația binomă este o ecuație algebrică.

Definiție

Forma generală a ecuației binome arată astfel:

$$a{x}^n+b=0,$$

unde a, b sunt numere reale sau complexe oarecare. Presupunem mai departe că a, b ≠ 0 și că n este număr natural.

Cazuri particulare ale ecuației binome:

• n = 1: ecuația are atunci forma ax + b = 0 și este o ecuație de gradul întâi.
• n = 2: ecuația are forma ax² + b = 0 și este o ecuație de gradul al doilea.

Orice ecuație binomă o putem aduce la forma normată împărțind ecuația la numărul a. Ecuația va avea atunci forma:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Putem face și o substituție și, în loc de fracția b/a, putem scrie c. Adică, dacă c = b/a, ecuația va avea forma:

$$x^n+c=0$$

Cum rezolvăm ecuația binomă

Aducem mai întâi ecuația la forma normată, apoi mutăm c în membrul drept și obținem forma

$$x^n=-c$$

Apoi extragem din ambii membri radicalul de ordin n.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Această ecuație o rezolvăm mai departe cu formula pentru extragerea radicalului din numere complexe. Formula arată astfel:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

unde

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

iar întreaga formulă este valabilă pentru k = 0, 1, …, n − 1.

Exemplu: calculează soluțiile ecuației x³ − 4 = 0. După normare și extragerea radicalului, ecuația va avea forma:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Deoarece numărul −c = 4 nu are nicio parte imaginară, unghiul α va fi egal cu zero și îl putem omite din formulă. A k-a soluție a ecuației va avea forma:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Acum trebuie să aplicăm această formulă pentru k = 0, 1, 2. Pentru k = 0 obținem:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Pentru k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Pentru k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Și gata, avem trei soluții: x₀, x₁ și x₂.