Binomiska ekvationer

En binomisk ekvation är en algebraisk ekvation.

Definition

Den allmänna formen av en binomisk ekvation ser ut så här:

$$a{x}^n+b=0,$$

där a, b är godtyckliga reella eller komplexa tal. Vidare förutsätter vi att a, b ≠ 0 och att n är ett positivt heltal.

Specialfall av binomiska ekvationer:

• n = 1: Ekvationen har då formen ax + b = 0 och är en linjär ekvation.
• n = 2: Ekvationen har formen ax² + b = 0 och är en andragradsekvation.

Varje binomisk ekvation kan vi skriva om till normalform genom att dividera ekvationen med a. Ekvationen får då formen:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Vi kan också göra en substitution och skriva c i stället för bråket b/a. Alltså om c = b/a får ekvationen formen:

$$x^n+c=0$$

Så löser du en binomisk ekvation

Först skriver vi om ekvationen till normalform, sedan flyttar vi c till högerledet och får ekvationen

$$x^n=-c$$

Därefter drar vi n:te roten ur hela ekvationen.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Sedan löser vi den här ekvationen med formeln för rotutdragning ur komplexa tal. Den ser ut så här:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

där

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

och hela formeln gäller för k = 0, 1, …, n − 1.

Exempel: beräkna rötterna till ekvationen x³ − 4 = 0. Efter normalisering och rotutdragning får ekvationen formen:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Eftersom talet −c = 4 inte har någon imaginärdel är vinkeln α lika med noll och vi kan utelämna den ur formeln. Den k:te roten till ekvationen får formen:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Nu måste vi använda den här formeln för k = 0, 1, 2. För k = 0 får vi:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

För k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

För k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Och det var allt, vi har tre rötter x₀, x₁ och x₂.