Ecuaciones binómicas

Una ecuación binómica es una ecuación algebraica.

Definición

La forma general de la ecuación binómica es la siguiente:

$$a{x}^n+b=0,$$

donde a, b son números reales o complejos cualesquiera. Suponemos además que a, b ≠ 0 y que n es un número natural.

Casos particulares de la ecuación binómica:

• n = 1: la ecuación tiene entonces la forma ax + b = 0 y se trata de una ecuación de primer grado.
• n = 2: la ecuación tiene la forma ax² + b = 0 y se trata de una ecuación de segundo grado.

Toda ecuación binómica se puede llevar a la forma normalizada dividiendo la ecuación entre el número a. La ecuación tendrá entonces la forma:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Podemos hacer además una sustitución y escribir c en lugar de la fracción b/a. Es decir, si c = b/a, la ecuación tendrá la forma:

$$x^n+c=0$$

Cómo resolver una ecuación binómica

Primero llevamos la ecuación a la forma normalizada, a continuación pasamos c al segundo miembro y así obtenemos la forma de la ecuación

$$x^n=-c$$

Después extraemos la raíz n-ésima en ambos miembros.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

A continuación resolvemos esta ecuación con la fórmula para la raíz de números complejos. Es la siguiente:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\mathrm{sen}(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

donde se cumple

$$z=|z|(\cos \alpha +i\mathrm{sen}\alpha )$$

y toda la fórmula es válida para k = 0, 1, …, n − 1.

Ejemplo: calcula las soluciones de la ecuación x³ − 4 = 0. Tras normalizar y extraer la raíz, la ecuación tendrá la forma:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Como el número −c = 4 no tiene parte imaginaria, el ángulo α será igual a cero y podemos omitirlo de la fórmula. La solución k-ésima de la ecuación tendrá la forma:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\mathrm{sen}\left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Ahora tenemos que aplicar esta fórmula para k = 0, 1, 2. Para k = 0 obtenemos:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\mathrm{sen}0)=\sqrt[3]{4}$$

Para k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\mathrm{sen}\frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Para k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\mathrm{sen}\frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Y esto es todo: tenemos tres soluciones, x₀, x₁ y x₂.