Equazioni binomie

Un’equazione binomia è un’equazione algebrica.

Definizione

La forma generale di un’equazione binomia è la seguente:

$$a{x}^n+b=0,$$

dove a, b sono numeri reali o complessi qualsiasi. Supponiamo inoltre che a, b ≠ 0 e che n sia un numero naturale diverso da zero.

Casi particolari di equazione binomia:

• n = 1: l’equazione ha allora la forma ax + b = 0 e si tratta di un’equazione di primo grado.
• n = 2: l’equazione ha la forma ax² + b = 0 e si tratta di un’equazione di secondo grado.

Ogni equazione binomia si può portare alla forma normalizzata dividendo l’equazione per il numero a. L’equazione avrà allora la forma:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Possiamo anche eseguire una sostituzione e scrivere c al posto della frazione b/a. Quindi, se c = b/a, l’equazione avrà la forma:

$$x^n+c=0$$

Come risolvere un’equazione binomia

Portiamo prima l’equazione alla forma normalizzata, poi spostiamo c al secondo membro e otteniamo la forma

$$x^n=-c$$

Poi estraiamo la radice n-esima di entrambi i membri.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Quest’ultima equazione la risolviamo con la formula per la radice dei numeri complessi. Eccola:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\mathrm{sen}(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

dove vale

$$z=|z|(\cos \alpha +i\mathrm{sen}\alpha )$$

e l’intera formula vale per k = 0, 1, …, n − 1.

Esempio: calcola le radici dell’equazione x³ − 4 = 0. Dopo la normalizzazione e l’estrazione di radice l’equazione ha la forma:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Poiché il numero −c = 4 non ha parte immaginaria, l’angolo α è uguale a zero e possiamo quindi toglierlo dalla formula. La k-esima radice dell’equazione avrà la forma:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\mathrm{sen}\left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Ora dobbiamo applicare questa formula per k = 0, 1, 2. Per k = 0 otteniamo:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\mathrm{sen}0)=\sqrt[3]{4}$$

Per k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\mathrm{sen}\frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Per k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\mathrm{sen}\frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

E questo è tutto: abbiamo le tre radici x₀, x₁ e x₂.