Διώνυμες εξισώσεις

Η διώνυμη εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση.

Ορισμός

Η γενική μορφή της διώνυμης εξίσωσης είναι η εξής:

$$a{x}^n+b=0,$$

όπου τα a, b είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί. Υποθέτουμε επίσης ότι a, b ≠ 0 και ότι το n είναι φυσικός αριθμός.

Ειδικές περιπτώσεις της διώνυμης εξίσωσης:

• n = 1: Η εξίσωση έχει τότε τη μορφή ax + b = 0 και πρόκειται για πρωτοβάθμια εξίσωση.
• n = 2: Η εξίσωση έχει τη μορφή ax² + b = 0 και πρόκειται για εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Κάθε διώνυμη εξίσωση μπορούμε να τη φέρουμε σε κανονική μορφή διαιρώντας την εξίσωση με τον αριθμό a. Η εξίσωση θα έχει τότε τη μορφή:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Μπορούμε ακόμη να κάνουμε αντικατάσταση και αντί για το κλάσμα b/a να γράφουμε c. Δηλαδή αν c = b/a, τότε η εξίσωση θα έχει τη μορφή:

$$x^n+c=0$$

Πώς λύνουμε τη διώνυμη εξίσωση

Πρώτα φέρνουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή, στη συνέχεια μεταφέρουμε το c στο δεύτερο μέλος και έτσι παίρνουμε τη μορφή της εξίσωσης

$$x^n=-c$$

Έπειτα παίρνουμε και στα δύο μέλη την n-οστή ρίζα.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Αυτήν την εξίσωση τη λύνουμε με τον τύπο για τις ρίζες μιγαδικών αριθμών. Ο τύπος είναι ο εξής:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

όπου ισχύει

$$z=|z|(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha +i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha )$$

και ολόκληρος ο τύπος ισχύει για k = 0, 1, …, n − 1.

Παράδειγμα: υπολόγισε τις ρίζες της εξίσωσης x³ − 4 = 0. Μετά την κανονικοποίηση και τη λήψη της ρίζας η εξίσωση θα έχει τη μορφή:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Επειδή ο αριθμός −c = 4 δεν έχει φανταστικό μέρος, η γωνία α θα ισούται με μηδέν και μπορούμε έτσι να την παραλείψουμε από τον τύπο. Η k-οστή ρίζα της εξίσωσης θα έχει τη μορφή:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Τώρα πρέπει να εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο για k = 0, 1, 2. Για k = 0 παίρνουμε:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }0+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }0)=\sqrt[3]{4}$$

Για k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\frac{2\pi }{3}+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Για k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\frac{4\pi }{3}+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Και αυτό είναι όλο, έχουμε τρεις ρίζες x₀, x₁ και x₂.