Équations binômes

Une équation binôme est une équation algébrique.

Définition

La forme générale d’une équation binôme est :

$$a{x}^n+b=0,$$

où a, b sont des nombres réels ou complexes quelconques. On suppose en outre que a, b ≠ 0 et que n est un entier naturel non nul.

Cas particuliers de l’équation binôme :

• n = 1 : l’équation a la forme ax + b = 0 ; c’est une équation du premier degré.
• n = 2 : l’équation a la forme ax² + b = 0 ; c’est une équation du second degré.

Toute équation binôme peut être ramenée à la forme normalisée en divisant l’équation par a. Elle a alors la forme :

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

On peut encore remplacer la fraction b/a par c. Si c = b/a, l’équation s’écrit alors :

$$x^n+c=0$$

Comment résoudre une équation binôme

On ramène d’abord l’équation à la forme normalisée, puis on fait passer c au membre de droite, ce qui donne la forme

$$x^n=-c$$

On extrait ensuite la racine n-ième des deux membres :

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

On résout ensuite cette équation à l’aide de la formule d’extraction de racines pour les nombres complexes. Elle s’écrit :

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

où l’on a

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

et la formule entière est valable pour k = 0, 1, …, n − 1.

Exemple : calcule les racines de l’équation x³ − 4 = 0. Après normalisation et extraction de la racine, l’équation a la forme :

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Comme le nombre −c = 4 n’a aucune partie imaginaire, l’angle α est nul et on peut le supprimer de la formule. La k-ième racine de l’équation a alors la forme :

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Il faut maintenant appliquer cette formule pour k = 0, 1, 2. Pour k = 0, on obtient :

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

Pour k = 1 :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Pour k = 2 :

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Nous avons ainsi trois racines, x₀, x₁ et x₂.