Equação binômia

Uma equação binômia é uma equação algébrica.

Definição

A forma geral de uma equação binômia é esta:

$$a{x}^n+b=0,$$

em que a, b são números reais ou complexos quaisquer. Supomos ainda que a, b ≠ 0 e que n é um número natural positivo.

Casos especiais da equação binômia:

• n = 1: a equação tem então a forma ax + b = 0 e trata-se de uma equação do 1º grau.
• n = 2: a equação tem a forma ax² + b = 0 e trata-se de uma equação do 2º grau.

Toda equação binômia pode ser levada à forma normalizada dividindo a equação pelo número a. A equação terá então a forma:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Ainda podemos fazer uma mudança de variável e, no lugar da fração b/a, escrever c. Ou seja, se c = b/a, a equação terá a forma:

$$x^n+c=0$$

Como resolver uma equação binômia

Primeiro levamos a equação à forma normalizada; em seguida passamos c para o segundo membro e obtemos a forma da equação

$$x^n=-c$$

Depois extraímos da equação inteira a raiz de índice n.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Em seguida resolvemos essa equação com a fórmula para a radiciação de números complexos. Ela é assim:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\mathrm{sen}(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

sendo

$$z=|z|(\cos \alpha +i\mathrm{sen}\alpha )$$

e a fórmula inteira vale para k = 0, 1, …, n − 1.

Exemplo: calcule as raízes da equação x³ − 4 = 0. Depois de normalizar e extrair a raiz, a equação terá a forma:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Como o número −c = 4 não tem nenhuma parte imaginária, o ângulo α será igual a zero e podemos omiti-lo da fórmula. A k-ésima raiz da equação terá a forma:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\mathrm{sen}\left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Agora precisamos aplicar essa fórmula para k = 0, 1, 2. Para k = 0 obtemos:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\mathrm{sen}0)=\sqrt[3]{4}$$

Para k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\mathrm{sen}\frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Para k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\mathrm{sen}\frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

E isso é tudo; temos três raízes, x₀, x₁ e x₂.