Binomiske ligninger

En binomisk ligning er en algebraisk ligning.

Definition

Den generelle form for en binomisk ligning ser sådan her ud:

$$a{x}^n+b=0,$$

hvor a, b er vilkårlige reelle eller komplekse tal. Vi antager desuden, at a, b ≠ 0, og at n er et naturligt tal.

Særlige tilfælde af en binomisk ligning:

• n = 1: Ligningen har så formen ax + b = 0, og det er en lineær ligning.
• n = 2: Ligningen har formen ax² + b = 0, og det er en andengradsligning.

Enhver binomisk ligning kan vi omforme til normeret form ved at dividere ligningen med tallet a. Ligningen får så formen:

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

Vi kan yderligere foretage en substitution og skrive c i stedet for brøken b/a. Altså hvis c = b/a, får ligningen formen:

$$x^n+c=0$$

Sådan løser du en binomisk ligning

Først omformer vi ligningen til normeret form, derefter flytter vi c over på højre side, og dermed får vi ligningen på formen

$$x^n=-c$$

Derefter uddrager vi den n'te rod af hele ligningen.

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

Denne ligning løser vi videre ved hjælp af formlen til at uddrage rødder af komplekse tal. Den ser sådan her ud:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

hvor der gælder

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

og hele formlen gælder for k = 0, 1, …, n − 1.

Eksempel: Beregn løsningerne til ligningen x³ − 4 = 0. Efter normering og uddragning af roden har ligningen formen:

$$x=\sqrt[3]{4}$$

Fordi tallet −c = 4 ikke har nogen imaginærdel, er vinklen α lig med nul, og vi kan derfor udelade den af formlen. Den k'te løsning til ligningen får formen:

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

Nu skal vi anvende denne formel for k = 0, 1, 2. For k = 0 får vi:

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

For k = 1:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

For k = 2:

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

Og det var det hele, vi har tre løsninger x₀, x₁ og x₂.