✖

Komplex számok

A komplex számok a valós számok kiterjesztését jelentik. A valós számok halmazán elvégezhetjük a legtöbb klasszikus műveletet, például az összeadást, a kivonást, a szorzást és az osztást (a nullával való osztás kivételével). A valós számok között gyököt is vonhatunk, de csak nemnegatív számból. Ez rést jelent, például amikor másodfokú egyenletet oldunk meg, és negatív diszkriminánst kapunk. Ezt a rést tömik be a komplex számok.

Mi a komplex szám

A közönséges számoktól a komplex számok főként abban különböznek, hogy két részük van – egy valós és egy képzetes. A komplex szám rendezett számpár, (x; y), ahol az x szám a valós rész, az y szám pedig a képzetes rész. Ha a valós rész nulla, tiszta képzetes komplex számról beszélünk. Maguk az x és y számok valósak.

A komplex számok halmazát nagy C betűvel jelöljük: ℂ.

Komplex számok egyenlősége: a közönséges számokkal ellentétben a komplex számoknak két összetevőjük van. Ha tehát két komplex számnak egyenlőnek kell lennie, mindkét összetevőben egyenlőnek kell lenniük. Ezek a komplex számok tehát egymástól különböznek: (2; 3) ≠ (0; 3) ≠ (2; 0). A z1 = (1; 2) és z2 = (1; 2) komplex számok egyenlők: z1 = z2.

Algebrai alak és a képzetes egység

A komplex számokat gyakrabban írjuk fel algebrai alakban, amely a következőképpen néz ki. Az (x; y) komplex szám algebrai alakja x + yi, ahol az i-t képzetes egységnek nevezzük. A képzetes egység négyzetére nagyon fontos összefüggés érvényes:

i2=−1

Ezt az egyenlőséget a továbbiakban gyakran fogjuk használni, a többi hatvánnyal együtt. A magasabb hatványokat ugyanis már a szokásos módon kiszámíthatjuk. Például ha az i3 kifejezést szeretnénk egyszerűsíteni, a hatványozás szabályai szerint felbonthatjuk i2 · i alakra. Már tudjuk, hogy az i2 egyenlő mínusz eggyel. A másik i-t már nem bontjuk tovább, így azt kapjuk, hogy i3 = −i.

i3=i2⏟−1⋅i⏟i=−i

Hasonlóan járunk el az i4 esetében. Ezt felbonthatjuk i2 · i2 alakra, ahol i2 = −1, tehát ezt kapjuk: −1 · − 1 = 1.

i4=i2⏟−1⋅i2⏟−1=−1⋅−1=1

Tehát i4 = 1. Ezt a tényt felhasználhatjuk, ha a képzetes egység még magasabb hatványait számoljuk. Például az i7 kiszámításakor felbonthatjuk i4 · i3 alakra. Tudjuk, hogy i4 = 1, így ezt kapjuk: 1 · i3. És tudjuk, hogy i3 = −i. Az eredmény: 1 · (−i) = −i.

Összeadás és szorzás

A komplex számokat összeadhatjuk és összeszorozhatjuk. Két komplex szám, z1 és z2 összeadásánál külön összeadjuk a valós részeket és a képzetes részeket:

z1+z2=(x1+y1i)+(x2+y2i)=(x1+x2)+(y1+y2)i

Példa: z1 = 3 + 7i és z2 = 5 + 8i. Az összeg így nézne ki: z1 + z2 = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Két komplex szám szorzata már egy kicsit bonyolultabb, de felírható a szokásos zárójelek szorzásaként. Az alapképlet így néz ki:

z1⋅z2=(x1+y1i)⋅(x2+y2i)=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i

Hogyan jutottunk el idáig? Próbáljuk meg összeszorozni a z1 és z2 számot úgy, ahogy egy közönséges zárójelet szoroznánk. Ezt kapjuk:

z1⋅z2=x1x2+x1y2i+x2y1i+y1y2i2

Mivel i2 = −1, az utolsó tag átalakítása után ezt kapjuk:

z1⋅z2=x1x2+x1y2i+x2y1i−y1y2

És most már csak összeszedjük a képzetes egység nélküli és az azt tartalmazó tagokat:

z1⋅z2=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1)i

Példa. Szorozzuk össze az 5 + 6i és a 4 + 7i számot. Ezt kapjuk:

(5+6i)⋅(4+7i)=20+35i+24i+42i2=20+59i−42=−22+59i

Ellentett, reciprok és konjugált

  • Az x + yi komplex szám ellentettje −x − yi alakú. A valós számokhoz hasonlóan az ellentettet úgy kapjuk, hogy az adott komplex számot megszorozzuk mínusz eggyel. Példa: a 2 + 7i ellentettje −2 − 7i. A −5 + 8i ellentettje 5 − 8i stb.

  • Az x + yi komplex szám reciproka 1x+yi alakú. A 4 − 2i szám reciproka tehát 14−2i.

  • Az x + yi szám komplex konjugáltja x − yi alakú. Általában felülvonással jelöljük így: z―, esetleg csillaggal: z∗. Ez a z komplex szám konjugáltja. A 2 + 9i szám konjugáltja 2 − 9i.

Kivonás és osztás

Ha már definiáltuk az ellentettet és a reciprokot, definiálhatjuk a kivonás és az osztás műveletét is. Ha két komplex számot szeretnénk kivonni, z1 − z2, a z1 számhoz hozzáadjuk a z2 ellentettjét. A gyakorlatban egyszerű képletet kapunk:

z1−z2=(x1+y1i)−(x2+y2i)=(x1−x2)+(y1−y2)i

Hasonlóan az osztást, z1 / z2, szorzássá alakítjuk úgy, hogy kiszámítjuk a z1 · z2′ szorzatot, ahol z2′ a z2 reciproka.

Abszolút érték

A z komplex szám abszolút értékét ezzel a képlettel számoljuk ki:

|z|=x2+y2=z⋅z―

(A négyzetgyökben a második z a z komplex konjugáltja.) A képlet jelentése jól látható a komplex számok geometriai ábrázolásában.

Minden olyan komplex számot, amelynek az abszolút értéke egy, komplex egységnek nevezünk. Példák komplex egységekre: 1, i, 22+22i.

Az abszolút érték tulajdonságai:

  • A komplex szám abszolút értéke valós szám.
  • |z| ≥ 0
  • |z|=|−z|=|z―|, ahol z― a komplex konjugált.

Fejezetek: Komplex számok, A komplex számok ábrázolása, A komplex szám trigonometrikus alakja