Комплексни числа

Комплексните числа са надстройка над реалните числа. В множеството на реалните числа можем да извършваме повечето класически операции като събиране, изваждане, умножение и деление (освен деление на нула). В реалните числа можем и да вадим корен, но само от неотрицателни числа. Това е празнина, например когато решаваме квадратно уравнение и получим отрицателна дискриминанта. Тази празнина запълват комплексните числа.

Какво е комплексно число

От обикновените числа комплексните се отличават най-вече с това, че съдържат две части – реална и имагинерна. Комплексното число е наредена двойка числа (x; y), където числото x е реалната част, а числото y – имагинерната част. Ако реалната част е нула, става дума за чисто имагинерно комплексно число. Самите числа x и y са реални.

Множеството на комплексните числа се означава с главната буква C: ℂ.

Равенство на комплексни числа: за разлика от обикновените числа комплексните числа съдържат две компоненти. За да са равни две комплексни числа, те трябва да са равни и по двете компоненти. Тези комплексни числа са следователно различни едно от друго: (2; 3) ≠ (0; 3) ≠ (2; 0). Комплексните числа z₁ = (1; 2) и z₂ = (1; 2) са равни: z₁ = z₂.

Алгебричен вид и имагинерна единица

Комплексните числа по-често се записват в алгебричен вид, който изглежда така. Комплексното число (x; y) има алгебричен вид x + yi, където i се нарича имагинерна единица. За втората степен на имагинерната единица важи много важна зависимост:

$$i^2=-1$$

Това равенство ще се използва често по-нататък, заедно с другите степени. По-високите степени вече могат да се пресмятат по обичайния начин. Например ако искаме да опростим i³, можем според правилата за работа със степени да разложим израза на i² · i. Вече знаем, че i² е равно на минус едно. Второто i не можем да разложим по никакъв начин, така че получаваме: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

По подобен начин и за i⁴. Него можем да разложим на i² · i², като i² = −1, така че получаваме: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Следователно i⁴ = 1. Този факт можем да използваме, когато пресмятаме още по-високи степени на имагинерната единица. Например когато пресмятаме i⁷, можем да го разложим на i⁴ · i³. Знаем, че i⁴ = 1, така че получаваме: 1 · i³. А знаем, че i³ = −i. Резултатът е: 1 · (−i) = −i.

Събиране и умножение

Комплексните числа можем да събираме и умножаваме. При събирането на две комплексни числа z₁ и z₂ просто събираме поотделно реалните части и имагинерните части:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Пример: z₁ = 3 + 7i и z₂ = 5 + 8i. Сборът би изглеждал така: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Произведението на две комплексни числа е малко по-сложно, но може да се разпише чрез класическо умножение на скоби. Основната формула изглежда така:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

А как стигнахме до нея? Опитваме да умножим z₁ · z₂ точно както бихме умножили обикновени скоби. Получаваме:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Тъй като i² = −1, след преобразуване на последния член получаваме:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

А сега само събираме заедно членовете без имагинерна единица и с нея:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Пример. Ще опитаме да умножим числата 5 + 6i и 4 + 7i. Получаваме:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Противоположно, реципрочно и спрегнато комплексно число

• Противоположното число на комплексното число x + yi има вида −x − yi. Подобно на реалните числа противоположното число получаваме, като умножим даденото комплексно число по минус едно. Пример: противоположното число на 2 + 7i е −2 − 7i. Противоположното число на −5 + 8i е 5 − 8i и т.н.

• Реципрочното число на комплексното число x + yi има вида $\frac{1}{x+yi}$. Реципрочното число на числото 4 − 2i има следователно вида $\frac{1}{4-2i}$.

• Спрегнатото комплексно число на числото x + yi има вида x − yi. Означава се обикновено с черта: $\bar{z}$, или със звездичка z*. Това е числото, спрегнато на комплексното число z. Спрегнатото комплексно число на 2 + 9i е числото 2 − 9i.

Изваждане и деление

Когато вече имаме определени противоположното и реципрочното число, можем да определим и операциите изваждане и деление. Ако искаме да извадим две комплексни числа, z₁ − z₂, към числото z₁ прибавяме противоположното число на z₂. На практика получаваме проста формула:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

По подобен начин делението z₁ / z₂ свеждаме до умножение, като умножаваме z₁ · z₂′, където z₂′ е реципрочното число на числото z₂.

Модул

Модулът (абсолютната стойност) на комплексното число z се пресмята по формулата:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Под корена второто z е спрегнатото комплексно число на z.) Смисълът на тази формула се вижда добре в геометричното представяне на комплексните числа.

Всяко комплексно число, чийто модул е равен на едно, се нарича единично комплексно число. Примери за единични комплексни числа: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Свойства на модула:

• Модулът на комплексно число е реално число.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, където z* е спрегнатото комплексно число.