Показателни и логаритмични неравенства

Показателното неравенство е показателно уравнение, в което вместо знак за равенство има знак за неравенство. Например това:

$$2^x>8$$

Решаването започва както при уравнението. Осмицата записваме като степен на двойката:

$$2^x>2^3$$

При уравнението 2^x = 2³ сега бихме сравнили степенните показатели и бихме получили x = 3. Защо можем да го направим? Функцията 2^x е растяща: колкото по-голям е показателят, толкова по-голяма е степента. Затова тя не приема никоя стойност два пъти и две степени на двойката са равни само когато имат един и същ показател. Същото разсъждение ни помага и при неравенството, само че трябва допълнително да решим в коя посока. Две на нещо е по-голямо от две на трета точно тогава, когато това нещо е по-голямо от три:

$$x>3$$

Решението е интервалът (3; +∞). Наистина: 2⁴ = 16 е повече от осем, но 2² = 4 вече не. На чертежа това е тази част от оста x, над която червената графика е по-високо от зелената права.

Иначе стоят нещата при неравенство с основа по-малка от едно, например ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Функцията ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ е намаляваща: колкото по-голям е показателят, толкова повече пъти умножаваме по една втора и толкова по-малко число се получава. На чертежа е в синьо:

Над правата y = 8 се издига само вляво от −3, така че неравенството ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ има решение x < −3. Знакът се обърна. Цялата магия на показателните неравенства се състои в това правило:

• основа по-голяма от едно: функцията е растяща и знакът на неравенството остава,
• основа между нула и едно: функцията е намаляваща и знакът се обръща.

Основа по-малка от едно

Захващаме се с неравенството

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Деветката трябва да запишем като степен на една трета. Една трета на степен минус едно дава три, една трета на степен минус две – девет:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Основите съвпадат, но основата $\frac{1}{3}$ е по-малка от едно. Значи сравняваме показателите и обръщаме знака:

$$x\le -2$$

Решението е интервалът (−∞; −2]. Проверяваме с x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, което наистина е повече от девет.

Най-честата грешка при тези примери гласи: не обърнах знака. Който напише x ≥ −2, би приел за решение например нулата. Но ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ и единицата е по-малка от девет.

Ако не ти е удобно да работиш с дроби в основата, можеш да препишеш $\frac{1}{3}$ като 3⁻¹. Тогава неравенството гласи 3^−x ≥ 3², т.е. −x ≥ 2. Този път основата е по-голяма от едно и знакът остава, но при делението на минус едно се обръща според правилата за преобразуване на неравенства. Получава се отново x ≤ −2. Знакът се обръща така или иначе.

Когато не можем да получим еднакви основи

В неравенството 3^x < 5 петицата не можем да запишем като степен на тройката с цял показател. Справяме се както при уравненията: логаритмуваме двете страни, този път с логаритъм с основа три. Той е растящ, така че знакът не се променя: log₃ 3^x < log₃ 5, т.е. x < log₃ 5. Резултатът спокойно може да остане в този вид. Приблизителното място на числото разкрива неравенството 3 < 5 < 9, така че log₃ 5 е между log₃ 3 = 1 и log₃ 9 = 2.

Логаритмични неравенства

При логаритмичните неравенства важи същото правило за основата и се добавя едно условие, което познаваме от логаритмичните уравнения: аргументът на логаритъма трябва да е положителен. Да опитаме с неравенството

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Първо условието: x − 1>0, т.е. x>1. После записваме тройката като логаритъм с основа две, защото 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Основата две е по-голяма от едно, логаритъмът е растящ и знакът остава:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Накрая обединяваме резултата с условието. Трябва да е изпълнено x>1 и едновременно x<9, така че решението е интервалът (1; 9). За проверка вземаме x = 5: log₂ 4 = 2, което наистина е по-малко от три.

На чертежа решението се вижда: червената графика е под зелената права за всички x от единицата до деветката. Вляво от единицата графика изобщо няма, защото там логаритъмът не съществува. Това е условието x>1.

Тук грешките са различни от тези при показателните неравенства. Който забрави условието, ще напише резултата x<9. Но в него влиза и нулата, а log₂(0 − 1) = log₂(−1) не съществува. При уравнение забравеното условие би издала проверката, но при неравенство излизат безбройно много числа и не можем да ги заместим всичките. Затова винаги записваме условието още в началото.

В последния пример се срещат и двата капана:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Условието е x>0. Двойката записваме като логаритъм с основа една втора, защото ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Основата е по-малка от едно, значи знакът се обръща за втори път:

$$x<\frac{1}{4}$$

С условието x>0 получаваме решението $(0;\frac{1}{4})$. Проверяваме например $x=\frac{1}{8}$: една втора на трета е една осма, така че ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$ и това наистина е повече от две.