Karmaşık Sayıların Geometrik Gösterimi

Karmaşık sayıları klasik kartezyen koordinat sisteminde de gösterebiliriz. Karmaşık sayıları gösterdiğimiz düzleme karmaşık düzlem ya da Gauss düzlemi (Argand düzlemi) denir.

Karmaşık Düzlemde Gösterim

Her z = x + yi karmaşık sayısı düzlemde koordinatları (x, y) olan bir noktayla gösterilir. Karmaşık düzlemde x eksenine gerçek eksen, y eksenine sanal eksen denir. Şimdi iki karmaşık sayı alalım: z₁ = 2 + 5i ve z₂ = 4 − 3i. Bunları karmaşık düzlemde şöyle gösteririz:

Toplamaya Göre Ters ve Eşlenik

Karmaşık düzlemde toplamaya göre ters ve eşlenik sayıları kolayca gösterebiliriz. z = 3 + 5i karmaşık sayısını alalım. z sayısının toplamaya göre tersi olan −3 − 5i sayısı, karmaşık düzlemin başlangıç noktasına göre z ile simetriktir:

Eşlenik sayıda sanal kısmın işareti değişir; bu yüzden eşlenik sayı, ilk sayıyla gerçek eksene (x eksenine) göre simetriktir. Şekle bak ($\bar{z}$ eşlenik sayıyı gösterir):

Mutlak Değer

Gerçek sayılarda mutlak değer, verilen sayının pozitif hâlini gösterir. Karmaşık sayılarda mutlak değeri biraz daha karmaşık biçimde hesaplarız. Karmaşık sayının mutlak değeri, karmaşık düzlemdeki noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını gösterir.

Başlangıç noktasına olan uzaklığı Pisagor teoremiyle hesaplayabiliriz; teoreme göre |z|² = x² + y² olur, burada x ve y karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmıdır. z = x + yi sayısının mutlak değerini de karekök alarak buluruz:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$