Grafische Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können wir auch im klassischen kartesischen Koordinatensystem darstellen. Die Ebene, in der wir komplexe Zahlen darstellen, heißt komplexe Zahlenebene oder auch gaußsche Zahlenebene.

Darstellung in der gaußschen Zahlenebene

Jede komplexe Zahl z = x + yi wird in der Ebene durch den Punkt mit den Koordinaten (x ∣ y) dargestellt. Die x-Achse heißt in der gaußschen Zahlenebene reelle Achse und die y-Achse imaginäre Achse. Nehmen wir also zwei komplexe Zahlen, z₁ = 2 + 5i und z₂ = 4 − 3i. In der gaußschen Zahlenebene würden wir sie so darstellen:

Gegenzahl und konjugiert komplexe Zahl

In der gaußschen Zahlenebene können wir leicht die Gegenzahl und die konjugiert komplexe Zahl einzeichnen. Nehmen wir die komplexe Zahl z = 3 + 5i. Die Gegenzahl zur Zahl z, die die Form −3 − 5i hat, liegt punktsymmetrisch zum Ursprung der gaußschen Zahlenebene:

Bei der konjugiert komplexen Zahl ändert sich das Vorzeichen des Imaginärteils, die konjugiert komplexe Zahl liegt also achsensymmetrisch zur ursprünglichen Zahl bezüglich der reellen Achse (der x-Achse). Siehe Abbildung ($\bar{z}$ bezeichnet die konjugiert komplexe Zahl):

Betrag

In den reellen Zahlen ist der Betrag die positive Version der gegebenen Zahl. In den komplexen Zahlen berechnen wir den Betrag etwas aufwendiger. Der Betrag einer komplexen Zahl ist nämlich der Abstand des Punktes in der gaußschen Zahlenebene vom Ursprung.

Den Abstand vom Ursprung können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen, der besagt, dass |z|² = x² + y² gilt, wobei x und y der Real- und der Imaginärteil der komplexen Zahl sind. Den Betrag der Zahl z = x + yi erhalten wir dann einfach durch Wurzelziehen:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$