Grafisk fremstilling af komplekse tal

Komplekse tal kan vi også afbilde i et almindeligt kartesisk koordinatsystem. Planen, hvor vi afbilder komplekse tal, kaldes den komplekse talplan eller også Gauss' talplan.

Fremstilling i Gauss' talplan

Hvert komplekst tal z = x + yi afbildes i planen af punktet med koordinaterne (x, y). x-aksen kaldes i Gauss' talplan den reelle akse, og y-aksen kaldes den imaginære akse. Lad os altså have to komplekse tal, z₁ = 2 + 5i og z₂ = 4 − 3i. I Gauss' talplan ville vi afbilde dem sådan:

Det modsatte og det komplekst konjugerede tal

I Gauss' talplan kan vi let indtegne modsatte og komplekst konjugerede tal. Tag det komplekse tal z = 3 + 5i. Det modsatte tal til tallet z, som har formen −3 − 5i, er symmetrisk med z om origo i Gauss' talplan:

Hos det komplekst konjugerede tal skifter den imaginære del fortegn, så det komplekst konjugerede tal bliver spejlbilledet af det oprindelige tal i den reelle akse (x-aksen). Se figuren ($\bar{z}$ betegner det komplekst konjugerede tal):

Numerisk værdi

I de reelle tal er den numeriske værdi den positive udgave af det givne tal. I de komplekse tal beregner vi den numeriske værdi lidt mere kompliceret. Den numeriske værdi af et komplekst tal er nemlig afstanden fra punktet i Gauss' talplan til origo.

Afstanden fra origo kan vi beregne med Pythagoras' sætning, som fortæller os, at |z|² = x² + y², hvor x og y er den reelle og den imaginære del af det komplekse tal. Den numeriske værdi af tallet z = x + yi får vi så blot ved at uddrage kvadratroden:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$