Графично представяне на комплексните числа

Комплексните числа можем да изобразяваме и в класическата декартова координатна система. Равнината, в която изобразяваме комплексните числа, се нарича комплексна равнина или още равнина на Гаус.

Изобразяване в равнината на Гаус

Всяко комплексно число z = x + yi се изобразява в равнината с точката с координати (x; y). Оста x в равнината на Гаус се нарича реална ос, а оста y – имагинерна ос. Нека имаме две комплексни числа, z₁ = 2 + 5i и z₂ = 4 − 3i. В равнината на Гаус бихме ги изобразили така:

Противоположно и спрегнато число

В равнината на Гаус лесно можем да нанесем противоположните и спрегнатите числа. Нека имаме комплексното число z = 3 + 5i. Противоположното число на числото z, което има вида −3 − 5i, е симетрично спрямо началото на равнината на Гаус:

При спрегнатото число се променя знакът пред имагинерната част, така че спрегнатото число е осево симетрично на първоначалното спрямо реалната ос (оста x). Виж фигурата ($\bar{z}$ означава спрегнатото число):

Абсолютна стойност

В множеството на реалните числа абсолютната стойност е положителната версия на дадено число. При комплексните числа пресмятаме абсолютната стойност малко по-сложно. Абсолютната стойност (модулът) на комплексно число всъщност е разстоянието от съответната точка до началото на равнината на Гаус.

Разстоянието до началото можем да пресметнем с Питагоровата теорема, която ни казва, че |z|² = x² + y², където x и y са реалната и имагинерната част на комплексното число. Абсолютната стойност на числото z = x + yi получаваме просто като извадим квадратен корен:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$