Γραφική παράσταση μιγαδικών αριθμών

Τους μιγαδικούς αριθμούς μπορούμε να τους παριστάνουμε και στο κλασικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το επίπεδο στο οποίο παριστάνουμε τους μιγαδικούς αριθμούς λέγεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο του Gauss.

Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

Κάθε μιγαδικός αριθμός z = x + yi παριστάνεται στο επίπεδο με το σημείο με συντεταγμένες (x, y). Ο άξονας x'x στο μιγαδικό επίπεδο λέγεται πραγματικός άξονας και ο άξονας y'y λέγεται φανταστικός άξονας. Έστω λοιπόν δύο μιγαδικοί αριθμοί, z₁ = 2 + 5i και z₂ = 4 − 3i. Στο μιγαδικό επίπεδο θα τους παριστάναμε ως εξής:

Αντίθετος και συζυγής αριθμός

Στο μιγαδικό επίπεδο μπορούμε εύκολα να σημειώσουμε τον αντίθετο και τον συζυγή αριθμό. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = 3 + 5i. Ο αντίθετος του αριθμού z, που έχει τη μορφή −3 − 5i, είναι συμμετρικός ως προς την αρχή του μιγαδικού επιπέδου:

Στον συζυγή αριθμό αλλάζει το πρόσημο του φανταστικού μέρους, οπότε ο συζυγής αριθμός θα είναι συμμετρικός με τον αρχικό ως προς τον πραγματικό άξονα (τον άξονα x'x). Δες το σχήμα ($\bar{z}$ συμβολίζει τον συζυγή αριθμό):

Μέτρο

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή παριστάνει τη θετική εκδοχή του δοσμένου αριθμού. Στους μιγαδικούς αριθμούς το μέτρο υπολογίζεται λίγο πιο περίπλοκα. Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού παριστάνει την απόσταση του σημείου στο μιγαδικό επίπεδο από την αρχή.

Την απόσταση από την αρχή μπορούμε να την υπολογίσουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα, που μας λέει ότι |z|² = x² + y², όπου x και y είναι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού. Το μέτρο του αριθμού z = x + yi το παίρνουμε τότε απλώς με την εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$