A komplex számok ábrázolása

A komplex számokat a szokásos derékszögű koordináta-rendszerben is ábrázolhatjuk. Azt a síkot, amelyen a komplex számokat ábrázoljuk, komplex számsíknak vagy Gauss-síknak nevezzük.

Ábrázolás a Gauss-síkon

Minden z = x + yi komplex számot a síkon az (x; y) koordinátájú pont ábrázol. Az x tengelyt a Gauss-síkon valós tengelynek, az y tengelyt pedig képzetes tengelynek nevezzük. Legyen két komplex számunk, z₁ = 2 + 5i és z₂ = 4 − 3i. A Gauss-síkon így ábrázolnánk őket:

Ellentett és konjugált

A Gauss-síkon könnyen ábrázolhatjuk az ellentettet és a konjugáltat. Legyen a komplex számunk z = 3 + 5i. A z ellentettje, amelynek alakja −3 − 5i, a Gauss-sík origójára szimmetrikus:

A konjugáltnál a képzetes rész előjele változik, tehát a konjugált és az eredeti szám a valós tengelyre (x tengelyre) tengelyesen szimmetrikus. Lásd az ábrát ($\bar{z}$ jelöli a konjugáltat):

Abszolút érték

A valós számok halmazán az abszolút érték az adott szám pozitív változatát jelenti. A komplex számoknál az abszolút értéket kicsit bonyolultabban számoljuk. A komplex szám abszolút értéke ugyanis a Gauss-síkon az adott pontnak az origótól mért távolságát jelenti.

Az origótól mért távolságot kiszámíthatjuk a Pitagorasz-tétel segítségével, amely szerint |z|² = x² + y², ahol x és y a komplex szám valós és képzetes része. A z = x + yi szám abszolút értékét ezután már csak gyökvonással kapjuk:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$