Representação gráfica dos números complexos

Podemos representar os números complexos também no plano cartesiano clássico. O plano em que representamos os números complexos chama-se plano complexo ou também plano de Argand-Gauss.

Representação no plano de Argand-Gauss

Cada número complexo z = x + yi é representado no plano pelo ponto de coordenadas (x, y). No plano de Argand-Gauss, o eixo x se chama eixo real e o eixo y se chama eixo imaginário. Tomemos dois números complexos, z₁ = 2 + 5i e z₂ = 4 − 3i. No plano de Argand-Gauss, nós os representaríamos assim:

Oposto e conjugado

No plano de Argand-Gauss podemos marcar facilmente o oposto e o conjugado. Tomemos o número complexo z = 3 + 5i. O oposto de z, que é −3 − 5i, é simétrico em relação à origem do plano de Argand-Gauss:

No conjugado, muda o sinal da parte imaginária, então o número conjugado será simétrico do número original em relação ao eixo real (o eixo x). Veja a figura ($\bar{z}$ representa o conjugado):

Módulo

Nos números reais, o módulo é a versão positiva do número dado. Nos números complexos, calculamos o módulo de um jeito um pouco mais elaborado. O módulo de um número complexo representa a distância do ponto, no plano de Argand-Gauss, até a origem.

A distância até a origem pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras, que diz que |z|² = x² + y², em que x e y são a parte real e a parte imaginária do número complexo. Obtemos então o módulo do número z = x + yi extraindo a raiz quadrada:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$