Reprezentarea grafică a numerelor complexe

Numerele complexe se pot reprezenta și într-un reper cartezian obișnuit. Planul în care reprezentăm numerele complexe se numește planul complex sau planul lui Gauss.

Reprezentarea în planul lui Gauss

Fiecare număr complex z = x + yi este reprezentat în plan prin punctul de coordonate (x, y). Axa Ox se numește în planul lui Gauss axa numerelor reale, iar axa Oy axa numerelor imaginare. Să luăm deci două numere complexe, z₁ = 2 + 5i și z₂ = 4 − 3i. În planul lui Gauss le-am reprezenta astfel:

Opusul și conjugatul

În planul lui Gauss putem reprezenta cu ușurință opusul și conjugatul unui număr. Să luăm numărul complex z = 3 + 5i. Opusul numărului z, care are forma −3 − 5i, este simetric față de originea planului lui Gauss:

La conjugat se schimbă semnul părții imaginare, deci conjugatul este simetric cu numărul inițial față de axa reală (axa Ox). Vezi figura ($\bar{z}$ notează conjugatul):

Modulul

În mulțimea numerelor reale, modulul este versiunea pozitivă a numărului dat. La numerele complexe, modulul se calculează puțin mai complicat. Modulul unui număr complex reprezintă distanța de la punctul din planul lui Gauss până la origine.

Distanța față de origine o putem calcula cu teorema lui Pitagora, care ne spune că |z|² = x² + y², unde x și y sunt partea reală și partea imaginară a numărului complex. Modulul numărului z = x + yi îl obținem apoi prin extragerea radicalului:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$