Complexe getallen in het complexe vlak

Complexe getallen kunnen we ook weergeven in een gewoon cartesisch coördinatenstelsel. Het vlak waarin we complexe getallen weergeven, heet het complexe vlak of ook het vlak van Gauss.

Weergave in het complexe vlak

Elk complex getal z = x + yi wordt in het vlak weergegeven door het punt met coördinaten (x, y). De x-as heet in het complexe vlak de reële as en de y-as heet de imaginaire as. Neem twee complexe getallen, z₁ = 2 + 5i en z₂ = 4 − 3i. In het complexe vlak zien ze er zo uit:

Tegengestelde en toegevoegd complex getal

In het complexe vlak kunnen we gemakkelijk de tegengestelde en toegevoegde complexe getallen intekenen. Neem het complexe getal z = 3 + 5i. De tegengestelde van z, dat is −3 − 5i, ligt symmetrisch ten opzichte van de oorsprong van het complexe vlak:

Bij het toegevoegde complexe getal verandert het teken van het imaginaire deel. Het toegevoegde complexe getal is dus het spiegelbeeld van het oorspronkelijke getal in de reële as (de x-as). Zie de figuur ($\bar{z}$ is het toegevoegde complexe getal):

Absolute waarde

Bij de reële getallen is de absolute waarde de positieve versie van een getal. Bij complexe getallen berekenen we de absolute waarde op een wat ingewikkelder manier. De absolute waarde van een complex getal is namelijk de afstand van het punt in het complexe vlak tot de oorsprong.

De afstand tot de oorsprong kunnen we berekenen met de stelling van Pythagoras, die zegt dat |z|² = x² + y², waarbij x en y het reële en het imaginaire deel van het complexe getal zijn. De absolute waarde van het getal z = x + yi krijgen we dan door de wortel te nemen:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$