Grafisk framstilling av komplekse tall

Komplekse tall kan vi også tegne i et vanlig kartesisk koordinatsystem. Planet der vi tegner komplekse tall, kalles det komplekse tallplanet eller det gaussiske tallplanet.

Framstilling i det komplekse tallplanet

Hvert komplekst tall z = x + yi tegnes i planet som punktet med koordinatene (x, y). x-aksen kalles i det komplekse tallplanet den reelle aksen, og y-aksen kalles den imaginære aksen. La oss ta to komplekse tall, z₁ = 2 + 5i og z₂ = 4 − 3i. I det komplekse tallplanet ville vi tegnet dem slik:

Det motsatte og det komplekskonjugerte tallet

I det komplekse tallplanet kan vi lett tegne inn motsatte og komplekskonjugerte tall. La oss ta det komplekse tallet z = 3 + 5i. Det motsatte tallet til z, som har formen −3 − 5i, er punktsymmetrisk med det opprinnelige tallet om origo i det komplekse tallplanet:

For det komplekskonjugerte tallet skifter imaginærdelen fortegn, så det komplekskonjugerte tallet ligger speilsymmetrisk med det opprinnelige tallet om den reelle aksen (x-aksen). Se figuren (z′ betegner det komplekskonjugerte tallet):

Absoluttverdi

Blant de reelle tallene angir absoluttverdien den positive versjonen av et gitt tall. For komplekse tall er det litt mer komplisert å regne ut absoluttverdien. Absoluttverdien av et komplekst tall er nemlig avstanden fra punktet i det komplekse tallplanet til origo.

Avstanden fra origo kan vi regne ut med Pythagoras' setning, som sier at |z|² = x² + y², der x og y er realdelen og imaginærdelen av det komplekse tallet. Absoluttverdien av tallet z = x + yi får vi så ved å ta kvadratroten:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$