Kompleksilukujen geometrinen esitys

Kompleksilukuja voi esittää myös tavallisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa. Tasoa, jossa kompleksiluvut esitetään, kutsutaan kompleksitasoksi eli myös Gaussin tasoksi.

Esittäminen Gaussin tasossa

Jokainen kompleksiluku z = x + yi esitetään tasossa pisteenä, jonka koordinaatit ovat (x, y). Gaussin tason x-akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja y-akselia imaginaariakseliksi. Olkoon meillä kaksi kompleksilukua, z₁ = 2 + 5i ja z₂ = 4 − 3i. Gaussin tasossa ne esitettäisiin näin:

Vastaluku ja liittoluku

Gaussin tasoon on helppo merkitä myös vastaluvut ja liittoluvut. Olkoon kompleksiluku z = 3 + 5i. Luvun z vastaluku −3 − 5i on symmetrinen origon suhteen:

Liittoluvussa imaginaariosan etumerkki vaihtuu, joten liittoluku on alkuperäisen luvun peilikuva reaaliakselin (x-akselin) suhteen. Katso kuva ($\bar{z}$ tarkoittaa liittolukua):

Itseisarvo

Reaalilukujen joukossa itseisarvo tarkoittaa luvun positiivista versiota. Kompleksiluvuilla itseisarvo lasketaan hieman monimutkaisemmin. Kompleksiluvun itseisarvo nimittäin on pisteen etäisyys origosta Gaussin tasossa.

Etäisyyden origosta voimme laskea Pythagoraan lauseella, jonka mukaan |z|² = x² + y², jossa x ja y ovat kompleksiluvun reaaliosa ja imaginaariosa. Luvun z = x + yi itseisarvon saamme sitten ottamalla neliöjuuren:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$