Rappresentazione grafica dei numeri complessi

I numeri complessi si possono rappresentare anche nel classico sistema di coordinate cartesiane. Il piano in cui rappresentiamo i numeri complessi si chiama piano complesso o anche piano di Gauss.

Rappresentazione nel piano di Gauss

Ogni numero complesso z = x + yi è rappresentato nel piano da un punto di coordinate (x; y). L’asse x nel piano di Gauss si chiama asse reale e l’asse y si chiama asse immaginario. Prendiamo allora due numeri complessi, z₁ = 2 + 5i e z₂ = 4 − 3i. Nel piano di Gauss li rappresenteremmo così:

Opposto e coniugato

Nel piano di Gauss possiamo rappresentare facilmente l’opposto e il coniugato. Prendiamo il numero complesso z = 3 + 5i. L’opposto di z, che ha la forma −3 − 5i, è simmetrico rispetto all’origine del piano di Gauss:

Nel coniugato cambia il segno della parte immaginaria, quindi il coniugato è simmetrico del numero originale rispetto all’asse reale (l’asse x). Guarda la figura ($\bar{z}$ indica il numero coniugato):

Modulo

Nei numeri reali il valore assoluto è la versione positiva del numero dato. Nei numeri complessi il modulo si calcola in modo un po’ più elaborato. Il modulo di un numero complesso rappresenta infatti la distanza del punto dall’origine nel piano di Gauss.

La distanza dall’origine si può calcolare con il teorema di Pitagora, secondo il quale |z|² = x² + y², dove x e y sono la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso. Il modulo del numero z = x + yi si ottiene poi semplicemente estraendo la radice quadrata:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$