Geometrisk framställning av komplexa tal

Komplexa tal kan vi också rita i ett vanligt kartesiskt koordinatsystem. Planet där vi ritar komplexa tal kallas det komplexa talplanet.

Framställning i det komplexa talplanet

Varje komplext tal z = x + yi ritas i planet som punkten med koordinaterna (x, y). Den vågräta axeln i det komplexa talplanet kallas den reella axeln och den lodräta axeln kallas den imaginära axeln. Vi tar två komplexa tal, z₁ = 2 + 5i och z₂ = 4 − 3i. I det komplexa talplanet ritar vi dem så här:

Motsatt tal och komplext konjugat

I det komplexa talplanet kan vi enkelt rita in motsatta tal och komplexa konjugat. Vi tar det komplexa talet z = 3 + 5i. Det motsatta talet till z, som är −3 − 5i, är symmetriskt med z kring origo i det komplexa talplanet:

För det komplexa konjugatet byter imaginärdelen tecken, så det komplexa konjugatet blir symmetriskt med det ursprungliga talet kring den reella axeln (x-axeln). Se bilden ($\overline{z}$ betecknar det komplexa konjugatet):

Absolutbelopp

Bland de reella talen är absolutbeloppet den positiva versionen av ett tal. Bland de komplexa talen beräknar vi absolutbeloppet lite annorlunda. Absolutbeloppet av ett komplext tal är nämligen avståndet från punkten i det komplexa talplanet till origo.

Avståndet till origo kan vi beräkna med Pythagoras sats, som säger att |z|² = x² + y², där x och y är det komplexa talets real- och imaginärdel. Absolutbeloppet av talet z = x + yi får vi sedan genom att dra roten ur:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$