Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos también podemos representarlos en el sistema de coordenadas cartesianas habitual. El plano en el que los representamos se llama plano complejo o también plano de Gauss.

Representación en el plano complejo

Cada número complejo z = x + yi se representa en el plano mediante el punto de coordenadas (x, y). En el plano complejo, el eje x se llama eje real y el eje y, eje imaginario. Tomemos, pues, dos números complejos, z₁ = 2 + 5i y z₂ = 4 − 3i. En el plano complejo los representaríamos así:

Número opuesto y conjugado

En el plano complejo podemos representar fácilmente el opuesto y el conjugado. Tomemos el número complejo z = 3 + 5i. El opuesto de z, que es −3 − 5i, es simétrico de z respecto del origen del plano complejo:

En el conjugado cambia el signo de la parte imaginaria, así que el conjugado es simétrico del número original respecto del eje real (el eje x). Mira la figura ($\bar{z}$ denota el conjugado):

Módulo

En el conjunto de los números reales, el valor absoluto es la versión positiva de un número. En los números complejos el módulo se calcula de otra manera, algo más elaborada: el módulo de un número complejo es la distancia del punto del plano complejo al origen.

La distancia al origen la podemos calcular con el teorema de Pitágoras, que nos dice que |z|² = x² + y², donde x e y son la parte real y la parte imaginaria del número complejo. El módulo del número z = x + yi se obtiene entonces extrayendo la raíz cuadrada:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$