Représentation graphique des nombres complexes

On peut aussi représenter les nombres complexes dans un repère cartésien ordinaire. Le plan où l’on représente les nombres complexes s’appelle le plan complexe, ou plan de Gauss.

Représentation dans le plan complexe

Chaque nombre complexe z = x + iy est représenté dans le plan par le point de coordonnées (x ; y). L’axe des abscisses s’appelle dans le plan complexe l’axe des réels, et l’axe des ordonnées l’axe des imaginaires purs. Prenons deux nombres complexes, z₁ = 2 + 5i et z₂ = 4 − 3i. Dans le plan complexe, on les représente ainsi :

Opposé et conjugué

Dans le plan complexe, on place facilement l’opposé et le conjugué d’un nombre. Prenons le nombre complexe z = 3 + 5i. Son opposé, qui s’écrit −3 − 5i, est symétrique de z par rapport à l’origine du plan complexe :

Pour le conjugué, le signe de la partie imaginaire change : le conjugué est donc le symétrique du nombre d’origine par rapport à l’axe des réels (l’axe des abscisses). Voir la figure ($\bar{z}$ désigne le conjugué) :

Module

Dans l’ensemble des nombres réels, la valeur absolue donne la version positive d’un nombre. Pour les nombres complexes, le calcul du module est un peu plus subtil. Le module d’un nombre complexe est en effet la distance entre son point image dans le plan complexe et l’origine.

On peut calculer la distance à l’origine avec le théorème de Pythagore, qui nous dit que |z|² = x² + y², où x et y sont la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe. On obtient le module du nombre z = x + iy en prenant la racine carrée :

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$