絶対値を含む1次方程式

絶対値は、0以上の数はそのままにし、負の数を正の数に変える関数です。1次方程式を解くときにも、絶対値が出てくることがあります。

復習

絶対値の計算のしかたと書き方を確認しておきましょう。絶対値は、式を縦線ではさんで |a| のように書きます。「a の絶対値」と読みます。0以上の数の絶対値は、その数自身です。例：|3| = 3, |64| = 64, |π| = π。一方、負の数の絶対値は正の数になります。$|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$。0の絶対値は0です。

簡単な例

絶対値を含む簡単な1次方程式の例は |x| = 3 です。ここで考えるのは、絶対値をとると3になるのはどんなときか、ということです。そのような x は2つあり、1つは正、もう1つは負です。つまり、この方程式には解が2つあります。1つ目は |3| = 3 なので x₁ = 3、2つ目は |−3| = 3 なので x₂ = −3 です。

方程式を少し変えて、難しくしてみましょう。|2x + 1| = 5 では、絶対値の中がもっと複雑な式になっています。しかし、先ほどとまったく同じように考えられます。絶対値をとると5になる数は何でしょうか。やはり 5 と −5 です。ここから何がわかるでしょうか。絶対値の中身、つまり式 2x + 1 は、5かマイナス5に等しくなければなりません。そのときに限って方程式が成り立ちます。そこで、方程式 2x + 1 = 5 と 2x + 1 = −5 を解きます。どちらもふつうの1次方程式として解けます。結果は次のとおりです。

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

もう一つの解は次のとおりです。

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

解は x₁ = 2 と x₂ = −3 の2つです。元の方程式に代入して確かめてみましょう。x = 2 のときは |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5、x = −3 のときは |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5 となります。

絶対値をはずす

しかし、方程式がもっと複雑になると、この方法は使いにくくなります。たとえば次の方程式です。

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

ここでは絶対値の中の式が2つあるので、別の方法を使う必要があります。まず、もう少し簡単な例を考えましょう。x を区間 (2, ∞) から選ぶとき、式 |x − 2| はどうなるでしょうか。絶対値の中の式はいつも正になります。たとえば3を代入すると 3 − 2 = 1、10を代入すると 10 − 2 = 8 です。この区間のどの数を代入しても、絶対値の中の式は正になります。では、絶対値はこの値をどう変えるでしょうか。まったく変えません。これは大事なポイントです。絶対値の中の式がいつも正なら、絶対値ははずしてかまいません。あってもなくても同じだからです。x を区間 (2, ∞) から選ぶとき、等式 |x − 2| = x − 2 が成り立ちます（つまり絶対値をはずせました）。

今度は逆の場合です。x を区間 (−∞, 2) から選ぶとどうなるでしょうか。絶対値の中の式、つまり式 x − 2 の値はどうなるでしょうか。いつも負になります！1を代入すると 1 − 2 = −1、0を代入すると 0 − 2 = −2 です。絶対値はこの値をどう変えるでしょうか。正の値に変えます。つまり符号を変えます。符号を変えるには、マイナス1をかければよいのです。5 · (−1) = −5 ですが、−7 · (−1) = 7、−15 · (−1) = 15 でもあるからです。

したがって、x を区間 (−∞, 2) から選ぶとき、絶対値の中の式はいつも負なので、絶対値がはたらいて式の符号を変えます。つまり式に −1 をかけます。x が (−∞, 2) にあるとき、|x − 2| = −(x − 2) と書けます。たとえば0を代入してみましょう。まず絶対値を含む式に代入すると |0 − 2| = |−2| = 2、次に右辺に代入すると −(0 − 2) = −(−2) = 2 です。

このように区間に分けると、絶対値を含む式を2つの別々の式に分けて、まったく別々に解くことができます。これは便利です。残る問題は、このような区間をどう見つけるかです。

絶対値の中が0になる点で場合分けする方法

式 x − 2 の符号が変わったのはどこでしょうか。前の節で、この式は区間 (−∞, 2) 全体で負、区間 (2, ∞) 全体で正であることがわかりました。では x = 2 ではどうでしょうか。代入すると 2 − 2 = 0 で、0になります。これは偶然ではありません。理由は1次関数のグラフを見るとよくわかります。

1次関数のグラフは直線です。直線は x 軸と1回しか交わることができず、x 軸と交わるところで符号が変わります。そのため、1次関数のグラフが x 軸と x = a で交わるなら、区間 (−∞, a) と区間 (a, ∞) では符号が異なります。

したがって、1次関数が正になる区間と負になる区間を求めるには、関数の値が0になる点、つまり1次関数 f について f(x₀) = 0 となる点 x₀ を見つければ十分です。たとえば式 x − 2 が正になる区間を求めるなら、まず方程式 x − 2 = 0 を解きます。解は x = 2 です。すると、区間 (−∞, 2) と (2, ∞) に分けられます。それぞれの区間で、絶対値をはずした方程式を解いていきます。

いよいよ最初の例に戻って

ずっと前に、次の例を考えました。

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

これはどう解けばよいでしょうか。まず、絶対値の中のそれぞれの式、つまり式 4x + 2 と x − 1 が0になる点を求めます。式 4x + 2 は $x=-\frac{1}{2}$ で、式 x − 1 は x = 1 で0になります。0になる点が2つあるので、区間は全部で3つになります。0になる点が1つあるごとに、区間 (−∞, ∞) が分けられるからです。こうして、区間 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$、$[-\frac{1}{2},1]$、(1, ∞) が得られます。区間は、いつも区間 (−∞, ∞) 全体をおおうように選びます。

次に、それぞれの区間で式が正か負かを調べます。そのためには次の表が便利です。

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2},1]& (1,\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

マイナス記号 − はその区間で式が負であること、プラス記号 + は正であることを表します。どうやって調べたのでしょうか。区間の中の数を1つ代入しただけです。たとえば真ん中の区間では、計算がいちばん楽な0を代入できます。すると式 4x + 2 は 4 · 0 + 2 = 2、式 x − 1 は 0 − 1 = −1 になります。

ヒント：ある区間で式が負で、次の区間で正なら、その後の区間でも式は正のままです。上の1次関数のグラフの図のとおり、1次関数の符号が2回変わることはないからです。

これで、どの区間でどの式が正か負かがわかりました。ここからの計算は3つに分かれます。区間ごとに別々に解く必要があるからです。

1つ目の区間では、x を $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$ から選びます。この区間では両方の式が負なので、絶対値をはずすには両方の式の符号を変える必要があります。したがって、この区間では次の方程式を解きます。

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

この方程式は同値変形で簡単に解けます。

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

ここで、解が考えている区間に入っているかを確かめる必要があります。いまは x を区間 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$ から選んでいるので、この区間に入らない解が出ても使えないのです。マイナス5分の7は区間 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$ に入っているので、方程式の正しい解です。

2つ目の区間では、x を $[-\frac{1}{2},1]$ から選びます。この区間では、式 4x + 2 は正、式 x − 1 は負のままです。したがって、次の方程式を解きます。

$$4x+2-(x-1)=6$$

これも簡単に変形できます。

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

この解は考えている区間に入っているでしょうか。入っています。1次方程式の解がもう1つ見つかりました。

3つ目の区間は、区間 (1, ∞) です。この区間では両方の式が正なので、そのまま絶対値をはずせます。したがって、次の方程式を解きます。

$$4x+2+x-1=6$$

この方程式は簡単に解けます。

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

また解が出ました。前の区間と同じ値です。しかし、これは考えている区間で正しい解でしょうか。違います！いま考えているのは開区間 (1, ∞) で、1はこの区間に含まれません。そのため、この3つ目の段階で見つかった値は正しい解に数えられません。

この絶対値を含む1次方程式の解は、$x=-\frac{7}{5},1$ の2つです。

グラフを使った解き方

ふつうの1次方程式と同じように、この方程式もグラフを使って解けます。左辺は関数 f(x) = |4x + 2|+|x − 1|、右辺は g(x) = 6 です。この2つのグラフをかくと、2点で交わります。この2点の x 座標が方程式の解です。

したがって、方程式の解は $x=-\frac{7}{5},1$ です。