Εξίσωση πρώτου βαθμού με απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή είναι μια συνάρτηση που δεν αλλάζει έναν μη αρνητικό αριθμό και από έναν αρνητικό αριθμό φτιάχνει θετικό. Η απόλυτη τιμή μπορεί να εμφανιστεί στη λύση εξισώσεων πρώτου βαθμού.

Επανάληψη

Ας θυμηθούμε πώς υπολογίζεται και πώς γράφεται η απόλυτη τιμή. Μια παράσταση μέσα σε απόλυτη τιμή τη γράφουμε με τις κάθετες γραμμές ως εξής: |α|. Λέμε «απόλυτη τιμή του αριθμού α». Ισχύει τότε ότι η απόλυτη τιμή ενός μη αρνητικού αριθμού είναι ο ίδιος αριθμός. Παραδείγματα: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Η απόλυτη τιμή όμως ενός αρνητικού αριθμού είναι θετικός αριθμός: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι μηδέν.

Ένα απλό παράδειγμα

Παράδειγμα μιας απλής εξίσωσης πρώτου βαθμού με απόλυτη τιμή είναι η εξίσωση: |x| = 3. Το ερώτημα τώρα είναι πότε η απόλυτη τιμή θα μας δώσει ως αποτέλεσμα το τρία. Θα είναι δύο τιμές του x – η μία θετική και η άλλη αρνητική· η εξίσωση έχει λοιπόν δύο λύσεις. Η πρώτη είναι ίση με x₁ = 3, επειδή |3| = 3. Η δεύτερη λύση είναι ίση με x₂ = −3, επειδή |−3| = 3.

Ας τροποποιήσουμε την εξίσωση και ας τη δυσκολέψουμε. |2x + 1| = 5 Μέσα στην απόλυτη τιμή έχουμε ήδη πιο σύνθετη παράσταση. Μπορούμε όμως να προχωρήσουμε ακριβώς όπως πριν από λίγο. Ποιοι αριθμοί έχουν απόλυτη τιμή ίση με πέντε; Πάλι το 5 και το −5. Τι προκύπτει από αυτό; Ότι το εσωτερικό της απόλυτης τιμής, δηλαδή η παράσταση 2x + 1, πρέπει να είναι ίσο με πέντε ή με μείον πέντε. Μόνο τότε η εξίσωση έχει λύση. Λύνουμε λοιπόν τις εξισώσεις 2x + 1 = 5 και 2x + 1 = −5. Τις εξισώσεις τις λύνουμε ως κλασικές εξισώσεις πρώτου βαθμού. Βγαίνει:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Και το δεύτερο αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Έχουμε λοιπόν δύο αποτελέσματα: x₁ = 2 και x₂ = −3. Μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση. Στην περίπτωση x = 2 παίρνουμε: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 και στην περίπτωση x = −3 έχουμε: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Απαλοιφή της απόλυτης τιμής

Η προηγούμενη διαδικασία όμως δύσκολα εφαρμόζεται όταν έχεις πιο σύνθετη εξίσωση. Για παράδειγμα αυτή:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Εδώ έχουμε ήδη δύο παραστάσεις μέσα σε απόλυτη τιμή και γι' αυτό πρέπει να διαλέξουμε άλλη διαδικασία. Πρώτα ένα λίγο πιο απλό παράδειγμα: τι θα ισχύει για την παράσταση |x − 2|, αν πάρουμε το x από το διάστημα (2, +∞); Η παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή θα είναι πάντα θετική. Αν αντικαταστήσουμε για παράδειγμα το τρία, παίρνουμε: 3 − 2 = 1. Αν αντικαταστήσουμε το δέκα, έχουμε: 10 − 2 = 8 κ.ο.κ. Για οποιονδήποτε αριθμό από αυτό το διάστημα η παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή είναι θετική. Πώς επηρεάζει λοιπόν την τιμή η απόλυτη τιμή; Καθόλου. Αυτό είναι ένα σημαντικό συμπέρασμα. Αν η παράσταση κάτω από την απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική, τότε μπορούμε να παραλείψουμε την απόλυτη τιμή – είναι περιττή. Αν παίρνουμε το x από το διάστημα (2, +∞), τότε ισχύει η ισότητα |x − 2| = x − 2 (δηλαδή παραλείψαμε την απόλυτη τιμή).

Και τώρα το αντίστροφο παράδειγμα – τι γίνεται αν πάρουμε το x από το διάστημα (−∞, 2); Ποια θα είναι η τιμή της παράστασης μέσα στην απόλυτη τιμή, δηλαδή η τιμή της παράστασης x − 2; Θα είναι πάντα αρνητική! Ας δοκιμάσουμε με το ένα: 1 − 2 = −1 ή με το μηδέν: 0 − 2 = −2. Τι θα κάνει η απόλυτη τιμή σε αυτή την τιμή; Θα την κάνει θετική, θα αλλάξει το πρόσημό της. Την αλλαγή του προσήμου μπορούμε να την κάνουμε πολλαπλασιάζοντας με το μείον ένα, επειδή ισχύει 5 · (−1) = −5, αλλά και −7 · (−1) = 7 και −15 · (−1) = 15.

Άρα αν παίρνουμε το x από το διάστημα (−∞, 2), τότε η παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή θα είναι πάντα αρνητική και η απόλυτη τιμή θα δράσει και θα αλλάξει το πρόσημο της παράστασης – θα την πολλαπλασιάσει με −1. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι για το x από το (−∞, 2) ισχύει η ισότητα: |x − 2| = −(x − 2). Ας δοκιμάσουμε να αντικαταστήσουμε για παράδειγμα το μηδέν. Πρώτα στην παράσταση με την απόλυτη τιμή: |0 − 2| = |−2| = 2 και τώρα στο δεύτερο μέλος: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Όπως φαίνεται, τέτοια διαστήματα μας επιτρέπουν να χωρίσουμε την παράσταση με την απόλυτη τιμή σε δύο διαφορετικές παραστάσεις, που μπορούμε να τις λύσουμε εντελώς χωριστά. Αυτό είναι βολικό. Το ερώτημα που μένει είναι πώς θα βρίσκουμε αυτά τα διαστήματα;

Η μέθοδος των ριζών

Πότε η παράσταση x − 2 άλλαζε πρόσημο; Από το προηγούμενο μέρος ξέρουμε ότι σε ολόκληρο το διάστημα (−∞, 2) η παράσταση είναι αρνητική και σε ολόκληρο το διάστημα (2, +∞) είναι θετική. Τι τιμή έχει στο σημείο x = 2; Με αντικατάσταση βρίσκουμε ότι 2 − 2 = 0, δηλαδή μηδέν. Αυτό δεν είναι τυχαίο. Ο λόγος φαίνεται καλύτερα στη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης:

Γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης είναι ευθεία, αυτή μπορεί να τέμνει τον άξονα x μόνο μία φορά και όταν τέμνει τον άξονα x, αλλάζει πρόσημο. Γι' αυτό ισχύει ότι αν η γραμμική συνάρτηση τέμνει τον άξονα x στο σημείο α, τότε στο διάστημα (−∞, α) θα έχει άλλο πρόσημο από ό,τι στο διάστημα (α, +∞).

Γι' αυτό, αν ψάχνουμε τα διαστήματα όπου η γραμμική συνάρτηση είναι θετική και όπου αρνητική, αρκεί να βρούμε τη λεγόμενη ρίζα, δηλαδή το σημείο x₀ για το οποίο η γραμμική συνάρτηση f έχει τιμή μηδέν: f(x₀) = 0. Άρα αν ψάχνουμε τα διαστήματα όπου η παράσταση x − 2 είναι θετική, πρώτα λύνουμε την εξίσωση x − 2 = 0. Η λύση είναι x = 2. Μετά μπορούμε να φτιάξουμε τα διαστήματα: (−∞, 2) και (2, +∞). Σε αυτά τα διαστήματα λύνουμε στη συνέχεια την εξίσωση, αλλά πια χωρίς την απόλυτη τιμή.

Επιτέλους πίσω στο παράδειγμα…

Πριν από πολλές γραμμές ορίσαμε ένα παράδειγμα:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Πώς θα το λύσουμε; Πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες κάθε παράστασης κάτω από απόλυτη τιμή, δηλαδή για την παράσταση 4x + 2 και για την x − 1. Η παράσταση 4x + 2 έχει ρίζα $x=-\frac{1}{2}$ και η παράσταση x − 1 έχει ρίζα x = 1. Επειδή έχουμε δύο ρίζες, θα έχουμε συνολικά τρία διαστήματα. Κάθε ρίζα χωρίζει με κάποιον τρόπο το διάστημα (−∞, +∞). Παίρνουμε λοιπόν συνολικά τα διαστήματα $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2},1]$ και (1, +∞). Τα διαστήματα τα διαλέγουμε πάντα έτσι ώστε να καλύπτουμε ολόκληρο το διάστημα (−∞, +∞).

Στο επόμενο βήμα πρέπει να βρούμε αν οι παραστάσεις στα συγκεκριμένα διαστήματα είναι θετικές ή αρνητικές. Σε αυτό θα μας βοηθήσει ένας πίνακας:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2},1]& (1,+\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Το σύμβολο μείον − δείχνει ότι η παράσταση στο συγκεκριμένο διάστημα είναι αρνητική, το σύμβολο συν + δείχνει ότι είναι θετική. Πώς το βρήκαμε; Αντικαταστήσαμε έναν οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα. Για παράδειγμα στο μεσαίο διάστημα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε το μηδέν, που είναι ό,τι πιο απλό για τους υπολογισμούς. Τότε στην παράσταση 4x + 2 παίρνουμε 4 · 0 + 2 = 2 και στην x − 1 έχουμε 0 − 1 = −1.

Συμβουλή: αν στο πρώτο διάστημα η παράσταση είναι αρνητική και στο επόμενο θετική, σε κάθε πιθανό επόμενο διάστημα η παράσταση θα είναι πάλι θετική. Η γραμμική συνάρτηση δεν μπορεί να αλλάξει πρόσημο δύο φορές, βλέπε την εικόνα με τη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης παραπάνω.

Τώρα πια ξέρουμε σε ποια διαστήματα ποιες παραστάσεις είναι θετικές ή αρνητικές. Ο επόμενος υπολογισμός μας πρέπει να χωριστεί σε τρία βήματα, πρέπει να λύσουμε χωριστά σε κάθε διάστημα.

Πρώτο διάστημα, δηλαδή το x το παίρνουμε από το $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$. Σε αυτό το διάστημα και οι δύο παραστάσεις είναι αρνητικές, οπότε αν θέλουμε να παραλείψουμε την απόλυτη τιμή, και οι δύο παραστάσεις πρέπει να αλλάξουν πρόσημο. Σε αυτό το διάστημα λύνουμε λοιπόν την εξίσωση:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Αυτή την εξίσωση τη λύνουμε απλά με ισοδύναμες μετατροπές:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Πρόσεξε ότι πρέπει να ελέγξουμε αν η λύση ανήκει στο διάστημα στο οποίο κινούμαστε. Εμείς τώρα υποθέτουμε ότι το x το παίρνουμε από το διάστημα $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, οπότε αν μας έβγαινε λύση που δεν ανήκει σε αυτό το διάστημα, δεν θα μπορούσαμε να τη χρησιμοποιήσουμε. Το μείον επτά πέμπτα βρίσκεται στο διάστημα $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, άρα αυτή είναι δεκτή λύση της εξίσωσης.

Δεύτερο διάστημα, δηλαδή το x το παίρνουμε από το $[-\frac{1}{2},1]$. Σε αυτό το διάστημα η παράσταση 4x + 2 είναι θετική και η παράσταση x − 1 εξακολουθεί να είναι αρνητική. Λύνουμε λοιπόν την εξίσωση

$$4x+2-(x-1)=6$$

Πάλι κάνουμε απλές πράξεις:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Ανήκει η λύση στο διάστημα στο οποίο δουλεύουμε; Ναι, ανήκει. Βρήκαμε μια ακόμα λύση της εξίσωσης πρώτου βαθμού.

Τρίτο διάστημα, δηλαδή το διάστημα (1, +∞). Σε αυτό το διάστημα και οι δύο παραστάσεις είναι θετικές, οπότε μπορούμε να παραλείψουμε την απόλυτη τιμή χωρίς καμία άλλη αλλαγή. Λύνουμε λοιπόν την εξίσωση:

$$4x+2+x-1=6$$

Αυτή την εξίσωση τη λύνουμε εύκολα:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Πήραμε ένα ακόμα αποτέλεσμα, ίδιο με αυτό του προηγούμενου διαστήματος. Είναι όμως αυτή δεκτή λύση για το διάστημα στο οποίο κινούμαστε; Δεν είναι! Κινούμαστε στο ανοικτό διάστημα (1, +∞), το ένα δεν ανήκει σε αυτό το διάστημα, οπότε αυτή τη λύση που βρήκαμε σε αυτό το τρίτο βήμα δεν μπορούμε να τη μετρήσουμε στις δεκτές λύσεις.

Η εξίσωση πρώτου βαθμού με απόλυτη τιμή έχει δύο λύσεις, το σύνολο λύσεων είναι $\{-\frac{7}{5},1\}$.

Γραφική λύση

Όπως και την κλασική εξίσωση πρώτου βαθμού, έτσι και αυτήν μπορούμε να τη λύσουμε γραφικά. Στο πρώτο μέλος έχουμε τη συνάρτηση f(x) = |4x + 2|+|x − 1| και στο δεύτερο g(x) = 6. Σχεδιάζουμε αυτές τις δύο γραφικές παραστάσεις – τέμνονται σε δύο σημεία. Οι τετμημένες x αυτών των σημείων είναι οι λύσεις της εξίσωσης.

Το σύνολο λύσεων Λ περιέχει λοιπόν τους αριθμούς $\Lambda =\{-\frac{7}{5},1\}$.