Линейно уравнение с абсолютна стойност

Абсолютната стойност е функция, която не променя неотрицателно число, а от отрицателно число прави положително. Абсолютната стойност може да се появи при решаването на линейни уравнения.

Преговор

Нека си припомним как се пресмята и записва абсолютната стойност. Израза в абсолютна стойност записваме с вертикални черти така: |a|. Казваме „абсолютна стойност на числото a“. Абсолютната стойност на неотрицателно число е същото число. Примери: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Но абсолютната стойност на отрицателно число е положително число: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Абсолютната стойност на нулата е нула.

Прост пример

Пример за просто линейно уравнение с абсолютна стойност е уравнението: |x| = 3. Въпросът сега е кога абсолютната стойност ни връща като резултат три? Ще има две стойности на x – едната положителна, а другата отрицателна; значи уравнението има две решения. Първото е равно на x₁ = 3, защото |3| = 3. Второто решение е равно на x₂ = −3, защото |−3| = 3.

Нека видоизменим уравнението и да го усложним. |2x + 1| = 5 Вътре в абсолютната стойност вече имаме по-сложен израз. Можем обаче да постъпим съвсем както преди малко. Кои числа са в абсолютна стойност равни на пет? Отново 5 и −5. Какво следва от това? Че изразът в абсолютната стойност, т.е. 2x + 1, трябва да е равен на пет или на минус пет. Само тогава уравнението има решение. Значи решаваме уравненията 2x + 1 = 5 и 2x + 1 = −5. Уравненията решаваме като класически линейни уравнения. Получаваме:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

И втория резултат:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Значи имаме два резултата: x₁ = 2 и x₂ = −3. Можем да опитаме да ги заместим в първоначалното уравнение. В случая x = 2 получаваме: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, а в случая x = −3 имаме: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Премахване на абсолютната стойност

Предишният начин обаче трудно се прилага, когато имаш по-сложно уравнение. Например това:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Тук вече имаме два израза в абсолютна стойност и затова трябва да изберем друг начин. Първо един по-прост пример: какво ще е в сила за израза |x − 2|, ако вземаме x от интервала (2; +∞)? Изразът в абсолютна стойност винаги ще е положителен. Ако заместим например с тройка, получаваме: 3 − 2 = 1. Ако заместим с десетка, имаме: 10 − 2 = 8 и т.н. За което и да е число от този интервал изразът в абсолютна стойност е положителен. Как тогава абсолютната стойност ще повлияе на стойността? Никак. Това е важно откритие. Ако изразът под абсолютната стойност е винаги положителен, можем да премахнем абсолютната стойност – тя е излишна. Ако вземаме x от интервала (2; +∞), е в сила равенството |x − 2| = x − 2 (т.е. премахнахме абсолютната стойност).

А сега обратният пример – какво става, ако вземаме x от интервала (−∞; 2)? Каква ще е стойността на израза в абсолютна стойност, т.е. стойността на израза x − 2? Ще бъде винаги отрицателна! Да опитаме със заместване с единица: 1 − 2 = −1 или с нула: 0 − 2 = −2. Какво ще направи абсолютната стойност с тази стойност? Ще я направи положителна, ще смени знака. Смяната на знака можем да извършим, като умножим по минус едно, защото 5 · (−1) = −5, но също и −7 · (−1) = 7 и −15 · (−1) = 15.

Значи ако вземаме x от интервала (−∞; 2), изразът в абсолютна стойност ще е винаги отрицателен и абсолютната стойност ще подейства и ще смени знака на израза – ще го умножи с −1. Така можем да напишем, че за x от (−∞; 2) е в сила равенството: |x − 2| = −(x − 2). Да опитаме да заместим там например с нула. Първо в израза с абсолютна стойност: |0 − 2| = |−2| = 2 и сега в дясната страна: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Както се вижда, подобни интервали ни позволяват да разделим израза с абсолютна стойност на два различни израза, които можем да решаваме напълно отделно. Това е удобно. Въпросът сега е как да намерим тези интервали?

Метод на нулите

Кога изразът x − 2 сменяше знака си? От предишната част знаем, че в целия интервал (−∞; 2) изразът е отрицателен, а в целия интервал (2; +∞) е положителен. Какъв е в точката x = 2? Със заместване установяваме, че 2 − 2 = 0, т.е. нула. Това не е случайно. Причината се вижда най-добре от графиката на линейната функция:

Графиката на линейната функция е права, тя може да пресече оста x само веднъж и когато пресече оста x, сменя знака си. Затова е в сила, че ако линейна функция пресича оста x в точката a, в интервала (−∞; a) ще има различен знак от този в интервала (a; +∞).

Затова, ако търсим интервалите, в които линейната функция е положителна и в които е отрицателна, достатъчно е да намерим т.нар. нула, т.е. точката x₀, за която стойността на линейната функция f е нула: f(x₀) = 0. Значи ако търсим интервалите, в които изразът x − 2 е положителен, първо решаваме уравнението x − 2 = 0. Решението е x = 2. После можем да образуваме интервалите: (−∞; 2) и (2; +∞). В тези интервали след това решаваме уравнението, но вече с премахната абсолютна стойност.

Най-после обратно към примера…

Преди много редове зададохме примера:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Как ще го решим? Първо намираме нулите на всеки израз под абсолютна стойност, т.е. за израза 4x + 2 и за x − 1. Изразът 4x + 2 има нула $x=-\frac{1}{2}$, а изразът x − 1 има нула x = 1. Тъй като имаме две нули, ще имаме общо три интервала. Всяка нула някак разделя интервала (−∞; +∞). Значи общо получаваме интервалите $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2};1]$ и (1; +∞). Интервалите винаги избираме така, че да покрием целия интервал (−∞; +∞).

В следващата стъпка трябва да установим дали изразите в дадените интервали са положителни или отрицателни. За целта използваме таблица:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2};1]& (1;+\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Знакът минус − означава, че изразът в дадения интервал е отрицателен, знакът плюс + означава, че е положителен. Как стигнахме до това? Заместихме с произволно число от интервала. Например в средния интервал можехме да заместим с нула, което е най-лесно за пресмятане. Тогава при израза 4x + 2 получаваме 4 · 0 + 2 = 2, а при x − 1 имаме 0 − 1 = −1.

Съвет: ако в първия интервал изразът е отрицателен, а в следващия положителен, във всеки евентуален следващ интервал изразът пак ще е положителен. Линейната функция не може два пъти да смени знака си, вж. чертежа горе с графиката на линейна функция.

В този момент знаем в кои интервали кои изрази са положителни или отрицателни. Следващото ни пресмятане трябва да се раздели на три стъпки, трябва да решаваме отделно във всеки интервал.

Първи интервал, т.е. x вземаме от $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$. В този интервал и двата израза са отрицателни, така че ако искаме да премахнем абсолютната стойност, и двата израза трябва да сменят знака си. В този интервал решаваме уравнението:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Това уравнение просто решаваме с еквивалентни преобразувания:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Внимавай: трябва да проверим дали решението е от интервала, в който се движим. Ние сега предполагаме, че x вземаме от интервала $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, така че ако ни излезе решение, което не е от този интервал, не можем да го използваме. Минус седем пети се намира в интервала $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, така че това е валидно решение на уравнението.

Втори интервал, т.е. x вземаме от $[-\frac{1}{2};1]$. В този интервал изразът 4x + 2 е положителен, а изразът x − 1 е все още отрицателен. Следователно решаваме уравнението

$$4x+2-(x-1)=6$$

Отново просто преобразуваме:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Принадлежи ли решението на интервала, в който работим? Да. Намерихме още едно решение на линейното уравнение.

Трети интервал, т.е. интервалът (1; +∞). В този интервал и двата израза са положителни, така че можем да премахнем абсолютната стойност без друга промяна. Следователно решаваме уравнението:

$$4x+2+x-1=6$$

Това уравнение лесно решаваме:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Получихме още един резултат, същият като в предишния интервал. Но валидно ли е това решение за интервала, в който се движим? Не е! Движим се в отворения интервал (1; +∞), единицата не е част от този интервал, така че намереното в тази трета стъпка решение не можем да броим към валидните решения.

Линейното уравнение с абсолютна стойност има две решения: $x_1=-\frac{7}{5}$ и x₂ = 1.

Графично решение

Както класическото линейно уравнение, и това може да се реши графично. Отляво имаме функцията f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, а отдясно g(x) = 6. Чертаем тези две графики – те се пресичат в две точки. x-координатите на тези точки са решенията на уравнението.

Множеството от решения съдържа числата $\{-\frac{7}{5};1\}$.