Ecuación de primer grado con valor absoluto

El valor absoluto es una función que no cambia un número no negativo y convierte un número negativo en positivo. El valor absoluto puede aparecer al resolver ecuaciones de primer grado.

Repaso

Recordemos cómo se calcula y se escribe el valor absoluto. La expresión dentro del valor absoluto la escribimos entre barras verticales así: |a|. Decimos «valor absoluto del número a». Se cumple entonces que el valor absoluto de un número no negativo es el mismo número. Ejemplos: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. En cambio, el valor absoluto de un número negativo es un número positivo: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. El valor absoluto de cero es cero.

Un ejemplo sencillo

Un ejemplo de ecuación de primer grado sencilla con valor absoluto es la ecuación: |x| = 3. La pregunta ahora es: ¿cuándo nos devuelve el valor absoluto como resultado un tres? Serán dos valores de x, uno positivo y otro negativo; la ecuación tiene, pues, dos soluciones. La primera es igual a x₁ = 3, porque |3| = 3. La segunda solución es igual a x₂ = −3, porque |−3| = 3.

Intentemos modificar la ecuación y hacerla más difícil. |2x + 1| = 5 Dentro del valor absoluto ya tenemos una expresión más complicada. Pero podemos proceder exactamente igual que hace un momento. ¿Qué números tienen valor absoluto igual a cinco? De nuevo 5 y −5. ¿Qué se deduce de ahí? Que el interior del valor absoluto, es decir, la expresión 2x + 1, tiene que ser igual a cinco o a menos cinco. Solo entonces la ecuación tiene solución. Así que resolvemos las ecuaciones 2x + 1 = 5 y 2x + 1 = −5. Las ecuaciones las resolvemos como ecuaciones de primer grado normales. Nos sale:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Y la segunda solución:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Tenemos, pues, dos soluciones: x₁ = 2 y x₂ = −3. Podemos intentar sustituirlas en la ecuación original. En el caso de x = 2 obtenemos: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 y en el caso de x = −3 tenemos: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Eliminación del valor absoluto

Pero el procedimiento anterior es difícil de aplicar cuando tienes una ecuación más complicada. Por ejemplo, esta:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Aquí ya tenemos dos expresiones con valor absoluto y por eso tenemos que elegir otro procedimiento. Primero, un ejemplo algo más sencillo: ¿qué se cumplirá para la expresión |x − 2| si tomamos x del intervalo (2, +∞)? La expresión dentro del valor absoluto será siempre positiva. Si sustituimos, por ejemplo, el tres, obtenemos: 3 − 2 = 1. Si sustituimos el diez, tenemos: 10 − 2 = 8, etc. Para cualquier número de este intervalo la expresión dentro del valor absoluto es positiva. ¿Cómo cambia entonces ese valor el valor absoluto? De ninguna manera. Esto es una observación importante. Si la expresión dentro del valor absoluto es siempre positiva, podemos quitar el valor absoluto: sobra. Si tomamos x del intervalo (2, +∞), se cumple la igualdad |x − 2| = x − 2 (es decir, hemos eliminado el valor absoluto).

Y ahora el ejemplo contrario: ¿qué pasa si tomamos x del intervalo (−∞, 2)? ¿Cuál será el valor de la expresión dentro del valor absoluto, es decir, el valor de la expresión x − 2? ¡Será siempre negativo! Probamos sustituyendo el uno: 1 − 2 = −1 o el cero: 0 − 2 = −2. ¿Qué le hace a este valor el valor absoluto? Lo convierte en positivo: le cambia el signo. El cambio de signo lo podemos hacer multiplicando por menos uno, porque se cumple que 5 · (−1) = −5, pero también −7 · (−1) = 7 y −15 · (−1) = 15.

Así que, si tomamos x del intervalo (−∞, 2), la expresión dentro del valor absoluto será siempre negativa y el valor absoluto actuará y le cambiará el signo a la expresión, es decir, la multiplicará por −1. Podemos escribir entonces que, para x de (−∞, 2), se cumple la igualdad: |x − 2| = −(x − 2). Probemos a sustituir, por ejemplo, el cero. Primero en la expresión con valor absoluto: |0 − 2| = |−2| = 2 y ahora en el segundo miembro: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Como se ve, intervalos así nos permiten dividir la expresión con valor absoluto en dos expresiones distintas que podemos resolver por completo por separado. Eso es ventajoso. La pregunta que queda ahora es: ¿cómo buscar estos intervalos?

Resolución por intervalos

¿Cuándo cambiaba de signo la expresión x − 2? De la parte anterior sabemos que en todo el intervalo (−∞, 2) la expresión es negativa y en todo el intervalo (2, +∞) es positiva. ¿Cuánto vale en el punto x = 2? Sustituyendo averiguamos que 2 − 2 = 0, es nula. No es casualidad. El motivo se ve mejor en la gráfica de la función lineal:

La gráfica de una función lineal es una recta, que solo puede cortar el eje OX una vez, y cuando lo corta, cambia de signo. Por eso se cumple que, si una función lineal corta el eje OX en el punto a, tendrá en el intervalo (−∞, a) un signo distinto que en el intervalo (a, +∞).

Por eso, si buscamos los intervalos en que una función lineal es positiva y en que es negativa, nos basta con encontrar el llamado cero, es decir, el punto x₀ para el que la función lineal f toma el valor cero: f(x₀) = 0. Así que, si buscamos los intervalos en que la expresión x − 2 es positiva, primero resolvemos la ecuación x − 2 = 0. La solución es x = 2. Entonces podemos formar los intervalos: (−∞, 2) y (2, +∞). En estos intervalos seguimos resolviendo la ecuación, pero ya con el valor absoluto eliminado.

Por fin, de vuelta al ejemplo…

Hace muchas líneas definimos un ejemplo:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

¿Cómo lo resolvemos? Primero hallamos los ceros de cada expresión dentro del valor absoluto, es decir, para las expresiones 4x + 2 y x − 1. La expresión 4x + 2 tiene el cero $x=-\frac{1}{2}$ y la expresión x − 1 tiene el cero x = 1. Como tenemos dos ceros, tendremos tres intervalos en total. Cada cero divide de algún modo el intervalo (−∞, +∞). Así que obtenemos los intervalos $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2},1]$ y (1, +∞). Los intervalos los elegimos siempre de modo que cubramos todo el intervalo (−∞, +∞).

En el paso siguiente tenemos que averiguar si las expresiones son positivas o negativas en cada intervalo. Para eso nos sirve una tabla:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2},1]& (1,+\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

El signo menos − indica que la expresión es negativa en el intervalo correspondiente, el signo más + indica que es positiva. ¿Cómo lo hemos averiguado? Hemos sustituido un número cualquiera del intervalo. Por ejemplo, en el intervalo central podíamos sustituir el cero, que es lo más sencillo de calcular. Entonces, para la expresión 4x + 2 obtenemos 4 · 0 + 2 = 2 y para x − 1 tenemos 0 − 1 = −1.

Consejo: si en el primer intervalo la expresión es negativa y en el siguiente positiva, en cualquier otro intervalo posterior la expresión volverá a ser positiva. Una función lineal no puede cambiar de signo dos veces; mira la figura de arriba con la gráfica de la función lineal.

En este momento sabemos en qué intervalos qué expresiones son positivas o negativas. Nuestro cálculo siguiente tiene que dividirse en tres pasos: tenemos que resolver por separado en cada intervalo.

Primer intervalo, es decir, tomamos x de $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$. En este intervalo las dos expresiones son negativas, así que, si queremos eliminar el valor absoluto, las dos expresiones tienen que cambiar de signo. En este intervalo resolvemos, pues, la ecuación:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Esta ecuación la resolvemos sencillamente con transformaciones equivalentes:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Ojo: tenemos que comprobar si la solución pertenece al intervalo en el que nos movemos. Ahora suponemos que x es del intervalo $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, así que, si nos saliera una solución que no es de ese intervalo, no podríamos usarla. Menos siete quintos se encuentra en el intervalo $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, así que esta es una solución válida de la ecuación.

Segundo intervalo, es decir, tomamos x de $[-\frac{1}{2},1]$. En este intervalo la expresión 4x + 2 es positiva y la expresión x − 1 sigue siendo negativa. Resolvemos, pues, la ecuación

$$4x+2-(x-1)=6$$

De nuevo la transformamos sin más:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

¿Pertenece la solución al intervalo en el que trabajamos? Sí, pertenece. Hemos encontrado otra solución de la ecuación de primer grado.

Tercer intervalo, es decir, el intervalo (1, +∞). En este intervalo las dos expresiones son positivas, así que podemos eliminar el valor absoluto sin más cambios. Resolvemos, pues, la ecuación:

$$4x+2+x-1=6$$

Esta ecuación la resolvemos fácilmente:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Hemos obtenido otro resultado, igual que en el intervalo anterior. Pero ¿es esta una solución válida para el intervalo en el que nos movemos? ¡No lo es! Nos movemos en el intervalo abierto (1, +∞), el uno no forma parte de este intervalo, así que la solución encontrada en este tercer paso no la podemos contar entre las soluciones válidas.

La ecuación de primer grado con valor absoluto tiene dos soluciones, $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Solución gráfica

Igual que una ecuación de primer grado normal, también esta se puede resolver gráficamente. En el primer miembro tenemos la función f(x) = |4x + 2|+|x − 1| y en el segundo, g(x) = 6. Dibujamos estas dos gráficas: se cortan en dos puntos. Las abscisas de estos puntos son la solución de la ecuación.

El conjunto solución S contiene, pues, los puntos $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.