Ensimmäisen asteen yhtälö ja itseisarvo

Itseisarvo on funktio, joka jättää ei-negatiivisen luvun ennalleen ja tekee negatiivisesta luvusta positiivisen. Itseisarvo voi esiintyä ensimmäisen asteen yhtälöitä ratkaistaessa.

Kertaus

Kerrataan, miten itseisarvo lasketaan ja merkitään. Itseisarvon sisällä oleva lauseke kirjoitetaan pystyviivojen väliin näin: |a|. Sanotaan ”luvun a itseisarvo”. Tällöin pätee, että ei-negatiivisen luvun itseisarvo on sama luku. Esimerkkejä: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Negatiivisen luvun itseisarvo on kuitenkin positiivinen luku: $| - 7 | = 7, | - π | = π, | - \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}$ . Nollan itseisarvo on nolla.

Yksinkertainen esimerkki

Esimerkki yksinkertaisesta ensimmäisen asteen yhtälöstä, jossa on itseisarvo, on yhtälö: |x| = 3. Kysymys kuuluu, milloin itseisarvo antaa tulokseksi kolme? Tällaisia x:n arvoja on kaksi — toinen positiivinen ja toinen negatiivinen; yhtälöllä on siis kaksi ratkaisua. Ensimmäinen on x₁ = 3, koska |3| = 3. Toinen ratkaisu on x₂ = −3, koska |−3| = 3.

Yritetään muuttaa yhtälöä vaikeammaksi. |2x + 1| = 5 Itseisarvon sisällä on nyt jo monimutkaisempi lauseke. Voidaan kuitenkin edetä täsmälleen samoin kuin äsken. Mitkä luvut ovat itseisarvoltaan viisi? Jälleen 5 ja −5. Mitä tästä seuraa? Että itseisarvon sisällä olevan lausekkeen 2x + 1 täytyy olla viisi tai miinus viisi. Vain silloin yhtälöllä on ratkaisu. Ratkaistaan siis yhtälöt 2x + 1 = 5 ja 2x + 1 = −5. Yhtälöt ratkaistaan tavallisina ensimmäisen asteen yhtälöinä. Saadaan:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & 5 \\ 2 x & = & 4 \\ x & = & 2 \end{array}$

Ja toinen tulos:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & - 5 \\ 2 x & = & - 6 \\ x & = & - 3 \end{array}$

Saatiin siis kaksi tulosta: x₁ = 2 ja x₂ = −3. Ne voi kokeilla sijoittaa alkuperäiseen yhtälöön. Tapauksessa x = 2 saadaan: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 ja tapauksessa x = −3 saadaan: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Itseisarvon poistaminen

Edellistä menettelyä on kuitenkin vaikea soveltaa, kun yhtälö on monimutkaisempi. Esimerkiksi tällainen:

$| 4 x + 2 | + | x - 1 | = 6$

Tässä on jo kaksi itseisarvolauseketta, joten täytyy valita toinen menettely. Ensin hieman yksinkertaisempi esimerkki: mitä lausekkeelle |x − 2| pätee, jos x otetaan väliltä ]2, ∞[? Itseisarvon sisällä oleva lauseke on aina positiivinen. Jos sijoitetaan esimerkiksi kolme, saadaan: 3 − 2 = 1. Jos sijoitetaan kymmenen, saadaan: 10 − 2 = 8 jne. Mille tahansa tämän välin luvulle itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen. Miten itseisarvo sitten vaikuttaa arvoon? Ei mitenkään. Se on tärkeä havainto. Jos itseisarvon sisällä oleva lauseke on aina positiivinen, itseisarvon voi poistaa — se on turha. Kun x otetaan väliltä ]2, ∞[, pätee yhtäsuuruus |x − 2| = x − 2 (eli itseisarvo on poistettu).

Ja nyt päinvastainen esimerkki — entä jos x otetaan väliltä ]−∞, 2[? Mikä on itseisarvon sisällä olevan lausekkeen eli lausekkeen x − 2 arvo? Se on aina negatiivinen! Kokeillaan sijoittamalla yksi: 1 − 2 = −1 tai nolla: 0 − 2 = −2. Mitä itseisarvo tekee tälle arvolle? Se kääntää sen positiiviseksi, vaihtaa merkin. Merkin voi vaihtaa kertomalla miinus yhdellä, koska pätee 5 · (−1) = −5, mutta myös −7 · (−1) = 7 ja −15 · (−1) = 15.

Kun siis x otetaan väliltä ]−∞, 2[, itseisarvon sisällä oleva lauseke on aina negatiivinen, ja itseisarvo toimii ja vaihtaa lausekkeen merkin — kertoo sen luvulla −1. Voidaan siis kirjoittaa, että kun x on väliltä ]−∞, 2[, pätee yhtäsuuruus: |x − 2| = −(x − 2). Kokeillaan sijoittaa siihen esimerkiksi nolla. Ensin itseisarvolausekkeeseen: |0 − 2| = |−2| = 2 ja nyt oikealle puolelle: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Kuten nähdään, tällaisten välien avulla itseisarvolausekkeen voi jakaa kahdeksi eri lausekkeeksi, jotka voi ratkaista täysin erikseen. Se on hyödyllistä. Kysymys kuuluu nyt: miten nämä välit löydetään?

Nollakohtien menetelmä

Milloin lauseke x − 2 vaihtoi merkkiä? Edellisestä osasta tiedetään, että koko välillä ]−∞, 2[ lauseke on negatiivinen ja koko välillä ]2, ∞[ positiivinen. Millainen se on kohdassa x = 2? Sijoittamalla selviää, että 2 − 2 = 0 eli nolla. Se ei ole sattumaa. Syy näkyy parhaiten lineaarisen funktion kuvaajasta:

Funktion y=x-2 kuvaaja. Kohdassa x=2 suora siirtyy negatiiviselta puolelta positiiviselle

Lineaarisen funktion kuvaaja on suora, ja se voi leikata x-akselin vain kerran, ja kun se leikkaa x-akselin, se vaihtaa merkkiään. Siksi pätee, että jos lineaarinen funktio leikkaa x-akselin kohdassa a, sen merkki välillä ]−∞, a[ on eri kuin välillä ]a, ∞[.

Jos siis etsitään välejä, joilla lineaarinen funktio on positiivinen ja joilla negatiivinen, riittää löytää ns. nollakohta eli piste x₀, jossa lineaarisen funktion f arvo on nolla: f(x₀) = 0. Jos siis etsitään välejä, joilla lauseke x − 2 on positiivinen, ratkaistaan ensin yhtälö x − 2 = 0. Ratkaisu on x = 2. Sen jälkeen voidaan muodostaa välit: ]−∞, 2[ ja ]2, ∞[. Näillä väleillä yhtälöä ratkaistaan edelleen, mutta jo ilman itseisarvoa.

Vihdoin takaisin esimerkkiin…

Monta riviä sitten esitettiin esimerkki:

$| 4 x + 2 | + | x - 1 | = 6$

Miten se ratkaistaan? Ensin etsitään kunkin itseisarvon sisällä olevan lausekkeen nollakohdat eli lausekkeiden 4x + 2 ja x − 1 nollakohdat. Lausekkeen 4x + 2 nollakohta on $x = - \frac{1}{2}$ ja lausekkeen x − 1 nollakohta on x = 1. Koska nollakohtia on kaksi, välejä tulee yhteensä kolme. Kukin nollakohta jakaa välin ]−∞, ∞[ jollakin tavalla. Saadaan siis välit $] - \infty, - \frac{1}{2} [$ , $[- \frac{1}{2}, 1]$ ja ]1, ∞[. Välit valitaan aina niin, että ne kattavat koko välin ]−∞, ∞[.

Seuraavaksi on selvitettävä, ovatko lausekkeet annetuilla väleillä positiivisia vai negatiivisia. Siihen auttaa taulukko:

$\begin{matrix} x & ] - \infty, - \frac{1}{2} [ & [- \frac{1}{2}, 1] & ] 1, \infty [ \\ 4 x + 2 & - & + & + \\ x - 1 & - & - & + \end{matrix}$

Merkki miinus − tarkoittaa, että lauseke on kyseisellä välillä negatiivinen, merkki plus + tarkoittaa, että se on positiivinen. Miten tähän päädyttiin? Sijoitettiin mikä tahansa välin luku. Keskimmäisellä välillä olisi voinut sijoittaa esimerkiksi nollan, mikä on laskennallisesti helpointa. Silloin lausekkeelle 4x + 2 saadaan 4 · 0 + 2 = 2 ja lausekkeelle x − 1 saadaan 0 − 1 = −1.

Vinkki: jos lauseke on ensimmäisellä välillä negatiivinen ja seuraavalla positiivinen, se on positiivinen myös jokaisella mahdollisella seuraavalla välillä. Lineaarinen funktio ei voi vaihtaa merkkiä kahdesti, ks. yllä oleva lineaarisen funktion kuvaaja.

Tässä vaiheessa tiedetään, millä väleillä mitkä lausekkeet ovat positiivisia tai negatiivisia. Seuraava laskenta jakautuu kolmeen vaiheeseen, koska jokainen väli on ratkaistava erikseen.

Ensimmäinen väli, eli x otetaan väliltä $] - \infty, - \frac{1}{2} [$ . Tällä välillä molemmat lausekkeet ovat negatiivisia, joten jos itseisarvo halutaan poistaa, molempien lausekkeiden on vaihdettava merkkiä. Tällä välillä ratkaistaan siis yhtälö:

$- (4 x + 2) - (x - 1) = 6$

Tämä yhtälö ratkaistaan yksinkertaisesti yhtäpitävillä muunnoksilla:

$\begin{array}{rcl} - (4 x + 2) - (x - 1) & = & 6 \\ - 4 x - 2 - x + 1 & = & 6 \\ - 5 x - 1 & = & 6 \\ - 5 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{5} \end{array}$

Huomaa, että on tarkistettava, kuuluuko ratkaisu sille välille, jolla liikutaan. Nyt nimittäin oletetaan, että x otetaan väliltä $] - \infty, - \frac{1}{2} [$ , joten jos ratkaisuksi tulisi luku, joka ei kuulu tälle välille, sitä ei voi käyttää. Miinus seitsemän viidesosaa kuuluu välille $] - \infty, - \frac{1}{2} [$ , joten tämä on yhtälön kelvollinen ratkaisu.

Toinen väli, eli x otetaan väliltä $[- \frac{1}{2}, 1]$ . Tällä välillä lauseke 4x + 2 on positiivinen ja lauseke x − 1 edelleen negatiivinen. Ratkaistaan siis yhtälö

$4 x + 2 - (x - 1) = 6$

Muokataan jälleen yksinkertaisesti:

$\begin{array}{rcl} 4 x + 2 - (x - 1) & = & 6 \\ 4 x + 2 - x + 1 & = & 6 \\ 3 x + 3 & = & 6 \\ 3 x & = & 3 \\ x & = & 1 \end{array}$

Kuuluuko ratkaisu sille välille, jolla työskennellään? Kyllä kuuluu. Löydettiin ensimmäisen asteen yhtälön toisen ratkaisun.

Kolmas väli, eli väli ]1, ∞[. Tällä välillä molemmat lausekkeet ovat positiivisia, joten itseisarvon voi poistaa ilman muita muutoksia. Ratkaistaan siis yhtälö:

$4 x + 2 + x - 1 = 6$

Tämä yhtälö ratkeaa helposti:

$\begin{array}{r} 4 x + 2 + x - 1 = 6 \\ 5 x + 1 = 6 \\ 5 x = 5 \\ x = 1 \end{array}$

Saatiin vielä yksi tulos, sama kuin edellisellä välillä. Onko tämä kuitenkin kelvollinen ratkaisu välille, jolla liikutaan? Ei ole! Liikutaan avoimella välillä ]1, ∞[, yksi ei kuulu tälle välille, joten tätä kolmannessa vaiheessa löytynyttä ratkaisua ei voi laskea kelvollisiin ratkaisuihin.

Itseisarvon sisältävällä ensimmäisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua, joten sen ratkaisujoukko on $S = {- \frac{7}{5}, 1}$ .

Graafinen ratkaisu

Kuten tavallinen ensimmäisen asteen yhtälö, tämäkin voidaan ratkaista graafisesti. Vasemmalla puolella on funktio f(x) = |4x + 2|+|x − 1| ja oikealla g(x) = 6. Piirretään nämä kaksi kuvaajaa — ne leikkaavat kahdessa pisteessä. Näiden pisteiden x-koordinaatit ovat yhtälön ratkaisut.

Funktioiden f(x)=|4x+2|+|x-1| ja g(x)=6 kuvaajat

Ratkaisujoukko S sisältää siis pisteet $S = {- \frac{7}{5}, 1}$ .

Luvut: Ensimmäisen asteen yhtälö, Ensimmäisen asteen yhtälö, jonka nimittäjässä on tuntematon, Ensimmäisen asteen yhtälö ja itseisarvo, Parametrillinen ensimmäisen asteen yhtälö

« Edellinen: Ensimmäisen asteen yhtälö, jonka nimittäjässä on tuntematon

Seuraava: Parametrillinen ensimmäisen asteen yhtälö »