Mutlak Değerli Birinci Dereceden Denklem

Mutlak değer, negatif olmayan bir sayıyı değiştirmeyen, negatif bir sayıyı ise pozitif yapan fonksiyondur. Mutlak değer, birinci dereceden denklemleri çözerken karşımıza çıkabilir.

Hatırlatma

Mutlak değerin nasıl hesaplanıp yazıldığını hatırlayalım. Mutlak değerin içindeki ifadeyi dikey çizgilerle yazarız: |a|. Bunu “a sayısının mutlak değeri” diye okuruz. Negatif olmayan bir sayının mutlak değeri o sayının kendisidir. Örnekler: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Negatif bir sayının mutlak değeri ise pozitif bir sayıdır: $| - 7 | = 7, | - π | = π, | - \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}$ . Sıfırın mutlak değeri sıfırdır.

Basit Bir Örnek

Mutlak değerli basit bir birinci dereceden denkleme örnek |x| = 3 denklemidir. Şimdi soru şu: mutlak değer ne zaman sonuç olarak üç verir? İki tane x değeri vardır — biri pozitif, diğeri negatif; yani denklemin iki çözümü vardır. Birincisi x₁ = 3, çünkü |3| = 3. İkinci çözüm x₂ = −3, çünkü |−3| = 3.

Denklemi biraz değiştirip zorlaştıralım: |2x + 1| = 5. Mutlak değerin içinde artık daha karmaşık bir ifade var. Ama tam olarak az önceki gibi ilerleyebiliriz. Mutlak değeri beşe eşit olan sayılar hangileri? Yine 5 ve −5. Bundan ne çıkar? Mutlak değerin içi, yani 2x + 1 ifadesi, beşe ya da eksi beşe eşit olmalıdır. Denklemin çözümü ancak o zaman vardır. Yani 2x + 1 = 5 ve 2x + 1 = −5 denklemlerini çözeriz. Denklemleri olağan birinci dereceden denklemler gibi çözeriz. Şunu buluruz:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & 5 \\ 2 x & = & 4 \\ x & = & 2 \end{array}$

İkinci sonuç da şöyle:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & - 5 \\ 2 x & = & - 6 \\ x & = & - 3 \end{array}$

Böylece iki sonucumuz var: x₁ = 2 ve x₂ = −3. Bunları ilk denklemde yerine yazıp deneyebiliriz. x = 2 için |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, x = −3 için ise |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5 elde ederiz.

Mutlak Değeri Kaldırma

Önceki yöntemi daha karmaşık bir denklemde uygulamak zordur. Örneğin şu denklemde:

$| 4 x + 2 | + | x - 1 | = 6$

Burada mutlak değerin içinde iki ifade var, bu yüzden başka bir yol seçmemiz gerekir. Önce biraz daha basit bir örnek: x değerlerini (2, ∞) aralığından alırsak |x − 2| ifadesi için ne geçerli olur? Mutlak değerin içindeki ifade her zaman pozitif olur. Örneğin 3’ü yerine koyarsak 3 − 2 = 1 elde ederiz. 10’u yerine koyarsak 10 − 2 = 8 olur, vb. Bu aralıktaki herhangi bir sayı için mutlak değerin içindeki ifade pozitiftir. Peki mutlak değer bu değere ne yapar? Hiçbir şey yapmaz. Bu önemli bir tespit. Mutlak değerin içindeki ifade her zaman pozitifse mutlak değeri kaldırabiliriz — orada gereksizdir. x’i (2, ∞) aralığından alırsak |x − 2| = x − 2 eşitliği geçerlidir (yani mutlak değeri kaldırdık).

Şimdi tersi bir örnek: x’i (−∞, 2) aralığından alırsak ne olur? Mutlak değerin içindeki ifadenin, yani x − 2 ifadesinin değeri nasıl olur? Her zaman negatif! 1’i yerine koyarak deneyelim: 1 − 2 = −1, ya da 0’ı koyalım: 0 − 2 = −2. Mutlak değer bu değere ne yapar? Onu pozitife çevirir, işaretini değiştirir. İşaret değişikliğini eksi birle çarparak yapabiliriz, çünkü 5 · (−1) = −5, ama aynı zamanda −7 · (−1) = 7 ve −15 · (−1) = 15.

Yani x’i (−∞, 2) aralığından alırsak mutlak değerin içindeki ifade her zaman negatif olur ve mutlak değer devreye girip ifadenin işaretini değiştirir — onu −1 ile çarpar. Böylece x değerleri (−∞, 2) aralığından olduğunda |x − 2| = −(x − 2) eşitliği geçerlidir. Örneğin sıfırı yazıp deneyelim. Önce mutlak değerli ifadede: |0 − 2| = |−2| = 2, şimdi de sağ tarafta: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Gördüğün gibi bu tür aralıklar, mutlak değerli ifadeyi tamamen ayrı çözebileceğimiz iki farklı ifadeye ayırmamızı sağlar. Bu çok işimize yarar. Şimdi soru şu: bu aralıkları nasıl buluruz?

Aralıklara Ayırarak Çözme

x − 2 ifadesi işaretini ne zaman değiştiriyordu? Önceki bölümden biliyoruz ki (−∞, 2) aralığının tamamında ifade negatif, (2, ∞) aralığının tamamında pozitif. x = 2 noktasında nasıl? Yerine yazınca 2 − 2 = 0, yani sıfır. Bu tesadüf değil. Nedeni en iyi doğrusal fonksiyonun grafiğinde görülür:

y=x-2 fonksiyonunun grafiği. x=2 noktasında doğru negatif bölgeden pozitif bölgeye geçer

Doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur; doğru x eksenini en fazla bir kez kesebilir ve x eksenini kestiğinde işaret değiştirir. Bu yüzden doğrusal bir fonksiyon x eksenini a noktasında kesiyorsa, (−∞, a) aralığında (a, ∞) aralığındakinden farklı işarete sahiptir.

Bu nedenle doğrusal fonksiyonun ne zaman pozitif, ne zaman negatif olduğu aralıkları arıyorsak, fonksiyonun sıfırını bulmamız yeterlidir; yani f doğrusal fonksiyonunun fonksiyon değerinin sıfır olduğu x₀ noktasını: f(x₀) = 0. Yani x − 2 ifadesinin pozitif olduğu aralıkları arıyorsak önce x − 2 = 0 denklemini çözeriz. Çözüm x = 2. Sonra aralıkları oluştururuz: (−∞, 2) ve (2, ∞). Bu aralıkların her birinde denklemi artık mutlak değeri kaldırarak çözeriz.

Sonunda Örneğe Dönelim…

Epey yukarıda şu örneği vermiştik:

$| 4 x + 2 | + | x - 1 | = 6$

Bunu nasıl çözeriz? Önce mutlak değerin içindeki ifadeleri, yani 4x + 2 ve x − 1 ifadelerini sıfır yapan değerleri buluruz. 4x + 2 ifadesi için bu değer $x = - \frac{1}{2}$ , x − 1 ifadesi için x = 1’dir. İki değerimiz olduğu için toplam üç aralığımız olacak. Her değer (−∞, ∞) aralığını bir şekilde böler. Böylece $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , $[- \frac{1}{2}, 1]$ ve (1, ∞) aralıklarını elde ederiz. Aralıkları her zaman (−∞, ∞) aralığının tamamını kaplayacak şekilde seçeriz.

Bir sonraki adımda, ifadelerin bu aralıklarda pozitif mi negatif mi olduğunu bulmalıyız. Bunun için bir tablo işimize yarar:

$\begin{matrix} x & (- \infty, - \frac{1}{2}) & [- \frac{1}{2}, 1] & (1, \infty) \\ 4 x + 2 & - & + & + \\ x - 1 & - & - & + \end{matrix}$

− işareti ifadenin o aralıkta negatif, + işareti ise pozitif olduğunu gösterir. Bunu nasıl bulduk? Aralıktan herhangi bir sayıyı yerine yazdık. Örneğin orta aralıkta, hesap açısından en kolay olan sıfırı yazabilirdik. O zaman 4x + 2 için 4 · 0 + 2 = 2, x − 1 için 0 − 1 = −1 elde ederiz.

İpucu: ilk aralıkta ifade negatif, sonrakinde pozitifse, olası her sonraki aralıkta ifade yine pozitif olur. Doğrusal fonksiyon iki kez işaret değiştiremez; yukarıdaki doğrusal fonksiyon grafiğine bak.

Şu an hangi aralıklarda hangi ifadelerin pozitif ya da negatif olduğunu biliyoruz. Bundan sonraki hesabımız üç adıma ayrılmalı, her aralıkta ayrı ayrı çözmeliyiz.

Birinci aralık, yani x’i $(- \infty, - \frac{1}{2})$ aralığından alıyoruz. Bu aralıkta iki ifade de negatif, bu yüzden mutlak değeri kaldırmak istiyorsak iki ifadenin de işareti değişmelidir. Bu aralıkta şu denklemi çözeriz:

$- (4 x + 2) - (x - 1) = 6$

Bu denklemi denk işlemlerle kolayca çözeriz:

$\begin{array}{rcl} - (4 x + 2) - (x - 1) & = & 6 \\ - 4 x - 2 - x + 1 & = & 6 \\ - 5 x - 1 & = & 6 \\ - 5 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{5} \end{array}$

Dikkat: bulduğumuz çözümün içinde bulunduğumuz aralıktan olup olmadığını kontrol etmeliyiz. Şu anda x’in $(- \infty, - \frac{1}{2})$ aralığından olduğunu varsayıyoruz; dolayısıyla bu aralıktan olmayan bir çözüm çıkarsa onu kullanamayız. $- \frac{7}{5}$ sayısı $(- \infty, - \frac{1}{2})$ aralığındadır, yani bu denklemin geçerli bir çözümüdür.

İkinci aralık, yani x’i $[- \frac{1}{2}, 1]$ aralığından alıyoruz. Bu aralıkta 4x + 2 ifadesi pozitif, x − 1 ifadesi ise hâlâ negatif. Dolayısıyla şu denklemi çözeriz:

$4 x + 2 - (x - 1) = 6$

Yine kolayca düzenleriz:

$\begin{array}{rcl} 4 x + 2 - (x - 1) & = & 6 \\ 4 x + 2 - x + 1 & = & 6 \\ 3 x + 3 & = & 6 \\ 3 x & = & 3 \\ x & = & 1 \end{array}$

Çözüm, içinde çalıştığımız aralıkta mı? Evet. Denklemin bir çözümünü daha bulduk.

Üçüncü aralık, yani (1, ∞) aralığı. Bu aralıkta iki ifade de pozitif, dolayısıyla mutlak değeri başka bir değişiklik yapmadan kaldırabiliriz. Şu denklemi çözeriz:

$4 x + 2 + x - 1 = 6$

Bu denklemi kolayca çözeriz:

$\begin{array}{r} 4 x + 2 + x - 1 = 6 \\ 5 x + 1 = 6 \\ 5 x = 5 \\ x = 1 \end{array}$

Bir sonuç daha bulduk, önceki aralıktakiyle aynı. Peki bu, içinde bulunduğumuz aralık için geçerli bir çözüm mü? Değil! Açık aralık (1, ∞) içinde çalışıyoruz, 1 sayısı bu aralığın elemanı değil; bu yüzden üçüncü adımda bulduğumuz bu çözümü geçerli çözümler arasında sayamayız.

Mutlak değerli denklemin iki çözümü vardır: $ÇK = {- \frac{7}{5}, 1}$ .

Grafikle Çözüm

Olağan birinci dereceden denklemde olduğu gibi bunu da grafikle çözebiliriz. Solda f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, sağda g(x) = 6 fonksiyonu var. Bu iki grafiği çizdiririz — iki noktada kesişirler. Bu noktaların x koordinatları (apsisleri) denklemin çözümleridir.

f(x)=|4x+2|+|x-1| ve g(x)=6 fonksiyonlarının grafikleri

Bu durumda çözüm kümesi $ÇK = {- \frac{7}{5}, 1}$ olur.

Bölümler: Birinci Dereceden Denklem, Paydasında Bilinmeyen Olan Birinci Dereceden Denklem, Mutlak Değerli Birinci Dereceden Denklem, Parametreli Birinci Dereceden Denklem

« Önceki: Paydasında Bilinmeyen Olan Birinci Dereceden Denklem

Sonraki: Parametreli Birinci Dereceden Denklem »