Lineaire vergelijking met absolute waarde

De absolute waarde is een functie die een niet-negatief getal niet verandert en van een negatief getal een positief getal maakt. Een absolute waarde kan voorkomen bij het oplossen van lineaire vergelijkingen.

Herhaling

We herinneren ons hoe de absolute waarde wordt berekend en genoteerd. Een uitdrukking binnen een absolute waarde noteren we met verticale streepjes, zo: |a|. We zeggen “de absolute waarde van het getal a”. Dan geldt dat de absolute waarde van een niet-negatief getal hetzelfde getal is. Voorbeelden: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. De absolute waarde van een negatief getal is echter een positief getal: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. De absolute waarde van nul is nul.

Een eenvoudig voorbeeld

Een voorbeeld van een eenvoudige lineaire vergelijking met een absolute waarde is de vergelijking: |x| = 3. De vraag is nu: wanneer geeft de absolute waarde als uitkomst drie? Dat zijn twee waarden van x, een positieve en een negatieve; de vergelijking heeft dus twee oplossingen. De eerste is gelijk aan x₁ = 3, want |3| = 3. De tweede oplossing is gelijk aan x₂ = −3, want |−3| = 3.

We passen de vergelijking aan en maken haar moeilijker. |2x + 1| = 5 Binnen de absolute waarde staat nu een ingewikkeldere uitdrukking. We kunnen echter precies hetzelfde te werk gaan als zojuist. Welke getallen hebben een absolute waarde van vijf? Opnieuw 5 en −5. Wat volgt hieruit? Dat de binnenkant van de absolute waarde, dus de uitdrukking 2x + 1, gelijk moet zijn aan vijf of min vijf. Alleen dan heeft de vergelijking een oplossing. We lossen dus de vergelijkingen 2x + 1 = 5 en 2x + 1 = −5 op. De vergelijkingen lossen we op als gewone lineaire vergelijkingen. We krijgen:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

En de tweede oplossing:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

We hebben dus twee oplossingen: x₁ = 2 en x₂ = −3. We kunnen proberen ze in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen. Voor x = 2 krijgen we: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 en voor x = −3 hebben we: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

De absolute waarde wegwerken

De vorige werkwijze is echter moeilijk toe te passen als je een ingewikkeldere vergelijking hebt. Bijvoorbeeld deze:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hier hebben we al twee uitdrukkingen binnen een absolute waarde en dus moeten we een andere werkwijze kiezen. Eerst een iets eenvoudiger voorbeeld: wat geldt er voor de uitdrukking |x − 2| als we x uit het interval ⟨2, → ⟩ nemen? De uitdrukking binnen de absolute waarde is dan altijd positief. Als we bijvoorbeeld drie invullen, krijgen we: 3 − 2 = 1. Als we tien invullen, hebben we: 10 − 2 = 8 enzovoort. Voor elk getal uit dit interval is de uitdrukking binnen de absolute waarde positief. Hoe beïnvloedt de absolute waarde dan de waarde? Helemaal niet. Dat is een belangrijke vaststelling. Als de uitdrukking onder de absolute waarde altijd positief is, kunnen we de absolute waarde weghalen: die is daar overbodig. Als we x uit het interval ⟨2, → ⟩ nemen, geldt dus de gelijkheid |x − 2| = x − 2 (we hebben de absolute waarde dus weggehaald).

En nu het omgekeerde voorbeeld: wat als we x uit het interval ⟨ ← , 2⟩ nemen? Wat is de waarde van de uitdrukking binnen de absolute waarde, dus de waarde van de uitdrukking x − 2? Die is altijd negatief! We proberen het door één in te vullen: 1 − 2 = −1, of nul: 0 − 2 = −2. Wat doet de absolute waarde met deze waarde? Die maakt er een positieve waarde van, ze verandert het teken. De verandering van het teken kunnen we uitvoeren door met min één te vermenigvuldigen, want er geldt 5 · (−1) = −5, maar ook −7 · (−1) = 7 en −15 · (−1) = 15.

Als we x dus uit het interval ⟨ ← , 2⟩ nemen, is de uitdrukking binnen de absolute waarde altijd negatief en gaat de absolute waarde dus aan het werk en verandert het teken van de uitdrukking: ze vermenigvuldigt die met −1. We kunnen dus opschrijven dat voor x uit ⟨ ← , 2⟩ de gelijkheid geldt: |x − 2| = −(x − 2). We proberen bijvoorbeeld nul in te vullen. Eerst in de uitdrukking met de absolute waarde: |0 − 2| = |−2| = 2 en nu in de rechterkant: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Zoals je ziet, kunnen we met zulke intervallen een uitdrukking met een absolute waarde splitsen in twee verschillende uitdrukkingen, die we helemaal apart kunnen oplossen. Dat is handig. De vraag blijft nu: hoe vinden we deze intervallen?

De nulpuntenmethode

Wanneer veranderde de uitdrukking x − 2 van teken? Uit het vorige deel weten we dat de uitdrukking in het hele interval ⟨ ← , 2⟩ negatief is en in het hele interval ⟨2, → ⟩ positief. Hoe zit het in het punt x = 2? Door in te vullen zien we dat 2 − 2 = 0, nul dus. Dat is geen toeval. De reden is het best te zien op de grafiek van een lineaire functie:

De grafiek van een lineaire functie is een lijn, die de x-as maar één keer kan snijden en als ze de x-as snijdt, verandert ze van teken. Daarom geldt: als een lineaire functie de x-as snijdt in het punt a, heeft ze in het interval ⟨ ← , a⟩ een ander teken dan in het interval ⟨a, → ⟩.

Als we dus de intervallen zoeken waarop een lineaire functie positief is en waarop ze negatief is, volstaat het om het zogenoemde nulpunt te vinden, dus het punt x₀ waarvoor de lineaire functie f de functiewaarde nul heeft: f(x₀) = 0. Als we dus de intervallen zoeken waarop de uitdrukking x − 2 positief is, lossen we eerst de vergelijking x − 2 = 0 op. De oplossing is x = 2. Dan kunnen we de intervallen maken: ⟨ ← , 2⟩ en ⟨2, → ⟩. In die intervallen lossen we de vergelijking verder op, maar nu met de absolute waarde al weggewerkt.

Eindelijk terug naar het voorbeeld…

Vele regels geleden hebben we een voorbeeld gedefinieerd:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hoe lossen we dat op? Eerst vinden we de nulpunten van elke uitdrukking onder een absolute waarde, dus voor de uitdrukking 4x + 2 en x − 1. De uitdrukking 4x + 2 heeft het nulpunt $x=-\frac{1}{2}$ en de uitdrukking x − 1 heeft het nulpunt x = 1. Omdat we twee nulpunten hebben, krijgen we in totaal drie intervallen. Elk nulpunt verdeelt het interval ⟨ ← , → ⟩ op een bepaalde manier. We krijgen dus in totaal de intervallen $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$, $[-\frac{1}{2},1]$ en ⟨1, → ⟩. De intervallen kiezen we altijd zo dat we het hele interval ⟨ ← , → ⟩ bedekken.

In de volgende stap moeten we vaststellen of de uitdrukkingen in de betreffende intervallen positief of negatief zijn. Daarvoor gebruiken we een tabel:

$$\begin{array}{cccc}x& ⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩& [-\frac{1}{2},1]& ⟨1,\to ⟩\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Het teken min − betekent dat de uitdrukking in het betreffende interval negatief is, het teken plus + betekent dat ze positief is. Hoe zijn we daarop gekomen? We hebben een willekeurig getal uit het interval ingevuld. In het middelste interval hadden we bijvoorbeeld nul kunnen invullen, wat rekenkundig het eenvoudigst is. Dan krijgen we bij de uitdrukking 4x + 2 de waarde 4 · 0 + 2 = 2 en bij x − 1 hebben we 0 − 1 = −1.

Tip: als de uitdrukking in het eerste interval negatief is en in het volgende positief, dan is ze in elk eventueel volgend interval weer positief. Een lineaire functie kan niet twee keer van teken veranderen, zie de figuur hierboven met de grafiek van een lineaire functie.

Nu weten we in welke intervallen welke uitdrukkingen positief of negatief zijn. Onze verdere berekening moet in drie stappen worden gesplitst: we moeten in elk interval apart oplossen.

Het eerste interval, dus we nemen x uit $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$. In dit interval zijn beide uitdrukkingen negatief, dus als we de absolute waarde willen weghalen, moeten beide uitdrukkingen van teken veranderen. In dit interval lossen we dus de vergelijking op:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Deze vergelijking lossen we gewoon op met equivalente bewerkingen:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Let op: we moeten controleren of de oplossing in het interval ligt waarin we werken. We nemen nu namelijk aan dat we x uit het interval $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$ nemen, dus als we een oplossing krijgen die niet in dat interval ligt, kunnen we die niet gebruiken. Min zeven vijfde ligt in het interval $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$, dus dit is een geldige oplossing van de vergelijking.

Het tweede interval, dus we nemen x uit $[-\frac{1}{2},1]$. In dit interval is de uitdrukking 4x + 2 positief en de uitdrukking x − 1 nog steeds negatief. We lossen dus de vergelijking op

$$4x+2-(x-1)=6$$

Weer herleiden we eenvoudig:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Ligt de oplossing in het interval waarin we werken? Ja. We hebben nog een oplossing van de lineaire vergelijking gevonden.

Het derde interval, dus het interval ⟨1, → ⟩. In dit interval zijn beide uitdrukkingen positief, dus we kunnen de absolute waarde zonder verdere verandering weghalen. We lossen dus de vergelijking op:

$$4x+2+x-1=6$$

Deze vergelijking lossen we gemakkelijk op:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

We hebben nog een uitkomst gekregen, dezelfde als in het vorige interval. Is dit echter een geldige oplossing voor het interval waarin we werken? Nee! We werken in het open interval ⟨1, → ⟩, de één maakt geen deel uit van dit interval, dus deze oplossing, gevonden in deze derde stap, kunnen we niet tot de geldige oplossingen rekenen.

De lineaire vergelijking met een absolute waarde heeft twee oplossingen: $x=-\frac{7}{5}$ of x = 1. De oplossingenverzameling is $\{-\frac{7}{5},1\}$.

Grafische oplossing

Net als een gewone lineaire vergelijking kunnen we ook deze grafisch oplossen. Links hebben we de functie f(x) = |4x + 2|+|x − 1| en rechts g(x) = 6. We laten deze twee grafieken tekenen: ze snijden elkaar in twee punten. De x-coördinaten van deze punten zijn de oplossingen van de vergelijking.

De oplossingenverzameling bestaat dus uit de getallen $\{-\frac{7}{5},1\}$.