分母に未知数を含む1次方程式

分数を含み、分母に変数がある1次方程式も、ふつうの1次方程式と同じように解きます。まず方程式を基本の形に直し、あとはいつもどおりに解きます。

分母が x だけの場合

このような方程式でいちばん簡単なのは、分母が変数 x だけの場合です。たとえば次の方程式です。

$$\frac{10}{x}=5$$

方程式の解が x = 2 になることは明らかです。では、一般的にはどのように解けばよいでしょうか。分母にある変数は扱いにくいので、なくしてしまいたいところです。問題は、分母の x をどうやってなくすかです。

次の形の分数を考えてみましょう。

$$\frac{a}{b}$$

この分数を分数でなくすには、何をかければよいでしょうか。つまり、割り算の形ではなく、かけ算の形にするには何をかければよいでしょうか。3分の1（つまり 1/3）に何をかければ整数になるでしょうか。分数の分母（またはその倍数）をかければよいのです。分数に分母をかけると、次の分数が得られます。

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

ここで元の分母 b を約分すると、a だけが残ります。3分の1の例に戻りましょう。3分の1に3をかけると何になるでしょうか。3分の3、つまり1です。6分の1に6をかけるとどうでしょうか。6分の6、つまり1です。7分の3に7をかけるとどうでしょうか。3 · 7 = 21 で7分の21、つまり3になります。

そこで、方程式の両辺に分母である x をかけます。そうしてもよいのでしょうか。かまいません。x は実数の中から考えるので、0になる可能性もあります。しかし、x は分数の分母にあり、0で割ることはできないので、方程式の条件から x ≠ 0 です。したがって、これは方程式の同値変形です。

では、両辺に x をかけてみましょう。どうなるでしょうか。

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

次はどうすればよいでしょうか。分数の x を約分できます。分数 10x/x からは 10 だけが残り、10 = 5x になります。ここまで来れば、あとはふつうの1次方程式として解けます。解は x = 2 です。

これは直感的にも納得できるでしょうか。できます。次の形の方程式を考えてみましょう。

$$\frac{x}{2}=10$$

この1次方程式は何を表しているでしょうか。x の半分が10に等しいということです。それなら、x の半分を2つ合わせたものは20に等しいはずです。そして、x の半分2つ分は x 1つ分に等しくなります。

分母が複雑な式の場合

分母には、x だけでなくもっと複雑な式が入ることもあります。次の方程式を解きなさい。

$$\frac{5}{x+2}=10$$

この方程式はどう解けばよいでしょうか。分数はどうやってなくせばよいでしょうか。前の節では、両辺に分母をかけて分数をなくしました（分母をはらう）。今回もまったく同じようにします。両辺に x + 2 をかけると、式 x + 2 が分数の分子に入り、きれいに約分できます。かけてみましょう。

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{約分 }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

これで分数がなくなりました。あとはかっこをはずして、解を計算するだけです。

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

分数が複数ある場合

方程式に分数が複数あり、分母に式が複数あると、かなり複雑になることがあります。例を見てみましょう。

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

この方程式はどう解けばよいでしょうか。分母の異なる分数が2つあり、どちらにも変数 x が入っています。両辺に両方の分母をかければ解けます。1つずつかけても、まとめてかけてもかまいません。1つずつかける場合、計算は次のようになります。まず (x + 2) をかけます。

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

続いて、両辺にもう一つの分母 (x + 3) をかけます。

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

あとはかっこをはずして、解を計算するだけです。

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

もう一つの方法は、両辺に両方の分母を同時にかけることです。つまり、最初に両辺に (x + 2)(x + 3) をかけます。すると次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

こうしてよいのは、両辺に a をかけてから b をかけることは、a · b をかけることと同じだからです。