Elsőfokú egyenlet abszolút értékkel

Az abszolút érték olyan függvény, amely a nemnegatív számot nem változtatja meg, a negatív számból pedig pozitívat csinál. Az abszolút érték előfordulhat az elsőfokú egyenletek megoldásakor.

Ismétlés

Idézzük fel, hogyan számoljuk ki és hogyan írjuk le az abszolút értéket. Az abszolút értékben álló kifejezést függőleges vonalakkal jelöljük így: |a|. Úgy mondjuk: „az a szám abszolút értéke”. Ekkor igaz, hogy a nemnegatív szám abszolút értéke ugyanaz a szám. Példák: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. A negatív szám abszolút értéke viszont pozitív szám: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. A nulla abszolút értéke nulla.

Egyszerű példa

Az abszolút értéket tartalmazó egyszerű elsőfokú egyenletre példa az |x| = 3 egyenlet. A kérdés most az, mikor lesz az abszolút érték eredménye három. Két x lesz ilyen – az egyik pozitív, a másik negatív; az egyenletnek tehát két megoldása van. Az első x₁ = 3, mert |3| = 3. A második megoldás x₂ = −3, mert |−3| = 3.

Próbáljuk meg módosítani és nehezíteni az egyenletet: |2x + 1| = 5. Az abszolút értéken belül már bonyolultabb kifejezés áll. Eljárhatunk viszont pontosan ugyanúgy, mint az előbb. Mely számok abszolút értéke egyenlő öttel? Megint az 5 és a −5. Mi következik ebből? Az, hogy az abszolút érték belseje, vagyis a 2x + 1 kifejezés egyenlő kell hogy legyen öttel vagy mínusz öttel. Csak akkor van az egyenletnek megoldása. Tehát megoldjuk a 2x + 1 = 5 és a 2x + 1 = −5 egyenletet. Az egyenleteket hagyományos elsőfokú egyenletként oldjuk meg. Ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

És a második eredmény:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Két eredményt kaptunk tehát: x₁ = 2 és x₂ = −3. Megpróbálhatjuk behelyettesíteni őket az eredeti egyenletbe. Az x = 2 esetében ezt kapjuk: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, az x = −3 esetében pedig: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Az abszolút érték elhagyása

Az előző eljárás viszont nehezen alkalmazható, ha bonyolultabb egyenletünk van. Például ez:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Itt már két kifejezés áll abszolút értékben, ezért más eljárást kell választanunk. Először egy kicsit egyszerűbb példa: mi igaz az |x − 2| kifejezésre, ha az x-et a ]2; +∞[ intervallumból vesszük? Az abszolút értékben álló kifejezés mindig pozitív lesz. Ha például hármat helyettesítünk be, ezt kapjuk: 3 − 2 = 1. Ha tizet helyettesítünk be, akkor: 10 − 2 = 8 stb. Ebből az intervallumból bármelyik számra az abszolút értékben álló kifejezés pozitív. Hogyan változtatja meg ekkor az értéket az abszolút érték? Sehogy. Ez fontos felismerés. Ha az abszolút érték alatt álló kifejezés mindig pozitív, akkor az abszolút értéket elhagyhatjuk – feleslegesen áll ott. Ha az x-et a ]2; +∞[ intervallumból vesszük, akkor fennáll az |x − 2| = x − 2 egyenlőség (vagyis elhagytuk az abszolút értéket).

És most az ellenkező példa – mi van, ha az x-et a ]−∞; 2[ intervallumból vesszük? Mekkora lesz az abszolút értékben álló kifejezés értéke, vagyis az x − 2 kifejezés értéke? Mindig negatív! Próbáljuk ki, helyettesítsünk be egyet: 1 − 2 = −1, vagy nullát: 0 − 2 = −2. Mit csinál ezzel az értékkel az abszolút érték? Átfordítja pozitívvá, megváltoztatja az előjelét. Az előjelváltást megkaphatjuk úgy is, hogy megszorozzuk mínusz eggyel, mert igaz, hogy 5 · (−1) = −5, de az is, hogy −7 · (−1) = 7 és −15 · (−1) = 15.

Tehát ha az x-et a ]−∞; 2[ intervallumból vesszük, akkor az abszolút értékben álló kifejezés mindig negatív lesz, és az abszolút érték működésbe lép, és megváltoztatja a kifejezés előjelét – megszorozza −1-gyel. Azt írhatjuk tehát, hogy a ]−∞; 2[ intervallumból vett x-re fennáll az |x − 2| = −(x − 2) egyenlőség. Próbáljuk ki, helyettesítsünk be például nullát. Először az abszolút értéket tartalmazó kifejezésbe: |0 − 2| = |−2| = 2, most pedig a jobb oldalra: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Ahogy látható, az ilyen intervallumok lehetővé teszik, hogy az abszolút értéket tartalmazó kifejezést két különböző kifejezésre bontsuk, amelyeket teljesen külön oldhatunk meg. Ez előnyös. A kérdés most az marad, hogyan keressük meg ezeket az intervallumokat?

Intervallumokra bontás

Mikor változtatta meg az előjelét az x − 2 kifejezés? Az előző részből tudjuk, hogy a ]−∞; 2[ intervallumban végig negatív, a ]2; +∞[ intervallumban pedig végig pozitív. Mekkora az x = 2 pontban? Behelyettesítéssel kiderül, hogy 2 − 2 = 0, vagyis nulla. Ez nem véletlen. Az okot a legjobban a lineáris függvény grafikonján látni:

A lineáris függvény grafikonja egyenes, az pedig csak egyszer metszheti az x tengelyt, és ha metszi, akkor előjelet vált. Ezért ha a lineáris függvény az a pontban metszi az x tengelyt, akkor a ]−∞; a[ intervallumban más előjelű lesz, mint az ]a; +∞[ intervallumban.

Ezért ha azokat az intervallumokat keressük, ahol a lineáris függvény pozitív, és ahol negatív, elég megtalálnunk az ún. zérushelyet, vagyis azt az x₀ pontot, amelyre a lineáris függvény f függvényértéke nulla: f(x₀) = 0. Tehát ha azokat az intervallumokat keressük, ahol az x − 2 kifejezés pozitív, először megoldjuk az x − 2 = 0 egyenletet. A megoldás x = 2. Ezután felírhatjuk az intervallumokat: ]−∞; 2[ és ]2; +∞[. Ezekben az intervallumokban azután már elhagyott abszolút értékkel oldjuk tovább az egyenletet.

Végre vissza a példához…

Sok sorral ezelőtt felírtunk egy példát:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hogyan oldjuk meg? Először megkeressük az abszolút érték alatt álló kifejezések zérushelyeit, vagyis a 4x + 2 és az x − 1 kifejezésekét. A 4x + 2 kifejezés zérushelye $x=-\frac{1}{2}$, az x − 1 kifejezésé pedig x = 1. Mivel két zérushelyünk van, összesen három intervallumunk lesz. Minden zérushely felosztja valahogyan a ]−∞; +∞[ intervallumot. Így összesen a $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, a $[-\frac{1}{2};1]$ és az ]1; +∞[ intervallumokat kapjuk. Az intervallumokat mindig úgy választjuk, hogy lefedjük az egész ]−∞; +∞[ intervallumot.

A következő lépésben meg kell állapítanunk, hogy a kifejezések az adott intervallumokban pozitívak vagy negatívak. Ebben a táblázat segít:

$$\begin{array}{cccc}x& ]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[& [-\frac{1}{2};1]& ]1;+\mathrm{\infty }[\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

A mínusz jel − azt jelenti, hogy a kifejezés az adott intervallumban negatív, a plusz jel + azt, hogy pozitív. Hogyan jöttünk rá? Behelyettesítettünk az intervallumból egy tetszőleges számot. A középső intervallumban például behelyettesíthettünk nullát, ami számolás szempontjából a legegyszerűbb. Ekkor a 4x + 2 kifejezésnél 4 · 0 + 2 = 2 adódik, az x − 1 kifejezésnél pedig 0 − 1 = −1.

Tipp: ha az első intervallumban a kifejezés negatív, a következőben pedig pozitív, akkor minden esetleges további intervallumban is újra pozitív lesz. A lineáris függvény nem válthat kétszer előjelet, lásd a fenti ábrát a lineáris függvény grafikonjával.

Ebben a pillanatban tudjuk, mely intervallumokban melyik kifejezés pozitív vagy negatív. A további számolásunkat három lépésre kell bontanunk, minden intervallumban külön kell megoldanunk.

Az első intervallum, vagyis az x-et a $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$ intervallumból vesszük. Ebben az intervallumban mindkét kifejezés negatív, tehát ha el akarjuk hagyni az abszolút értéket, mindkét kifejezésnek előjelet kell váltania. Ebben az intervallumban tehát ezt az egyenletet oldjuk meg:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Ezt az egyenletet egyszerűen megoldjuk ekvivalens átalakításokkal:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Vigyázz, ellenőriznünk kell, hogy a megoldás abból az intervallumból való-e, amelyben mozgunk. Most ugyanis feltételezzük, hogy az x-et a $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$ intervallumból vesszük, tehát ha olyan megoldás jönne ki, amely nem ebből az intervallumból való, azt nem használhatnánk. A mínusz hétötöd a $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$ intervallumban van, tehát ez érvényes megoldása az egyenletnek.

A második intervallum, vagyis az x-et a $[-\frac{1}{2};1]$ intervallumból vesszük. Ebben az intervallumban a 4x + 2 kifejezés pozitív, az x − 1 kifejezés továbbra is negatív. Ezért ezt az egyenletet oldjuk meg:

$$4x+2-(x-1)=6$$

Megint egyszerűen átalakítjuk:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Abból az intervallumból való a megoldás, amelyben dolgozunk? Igen, az. Megtaláltuk az elsőfokú egyenlet újabb megoldását.

A harmadik intervallum, vagyis az ]1; +∞[ intervallum. Ebben az intervallumban mindkét kifejezés pozitív, ezért az abszolút értéket további változtatás nélkül elhagyhatjuk. Ezt az egyenletet oldjuk meg:

$$4x+2+x-1=6$$

Ezt az egyenletet könnyen megoldjuk:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Újabb eredményt kaptunk, ugyanazt, mint az előző intervallumban. Érvényes megoldás ez viszont arra az intervallumra, amelyben mozgunk? Nem az! Az ]1; +∞[ nyílt intervallumban mozgunk, az 1 nem tartozik ehhez az intervallumhoz, ezért ezt a harmadik lépésben talált megoldást nem számíthatjuk az érvényes megoldások közé.

Az abszolút értéket tartalmazó elsőfokú egyenletnek két megoldása van: $x_1=-\frac{7}{5}$ és x₂ = 1.

Grafikus megoldás

Akárcsak a hagyományos elsőfokú egyenletet, ezt is megoldhatjuk grafikusan. Balra az f(x) = |4x + 2|+|x − 1| függvényünk áll, jobbra pedig a g(x) = 6. Lerajzoltatjuk ezt a két grafikont – két pontban metszik egymást. E pontok x koordinátái az egyenlet megoldásai.

A megoldáshalmaz tehát két elemből áll: $\{-\frac{7}{5};1\}$.