Equazione di primo grado con valore assoluto

Il valore assoluto è una funzione che lascia invariato un numero non negativo e trasforma un numero negativo in un numero positivo. Il valore assoluto può comparire nella risoluzione di un’equazione di primo grado.

Ripasso

Ricordiamo come si calcola e come si scrive il valore assoluto. L’espressione dentro il valore assoluto si scrive tra due barre verticali, così: |a|. Si dice «valore assoluto del numero a». Il valore assoluto di un numero non negativo è il numero stesso. Esempi: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Il valore assoluto di un numero negativo, invece, è un numero positivo: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Il valore assoluto di zero è zero.

Un esempio semplice

Un esempio di semplice equazione di primo grado con valore assoluto è l’equazione |x| = 3. La domanda ora è: quando il valore assoluto dà come risultato tre? Saranno due i valori di x – uno positivo e l’altro negativo – quindi l’equazione ha due soluzioni. La prima è x₁ = 3, perché |3| = 3. La seconda soluzione è x₂ = −3, perché |−3| = 3.

Proviamo a modificare l’equazione per renderla più difficile: |2x + 1| = 5. Dentro il valore assoluto c’è ora un’espressione più complicata. Possiamo però procedere esattamente come poco fa. Quali numeri hanno valore assoluto uguale a cinque? Ancora 5 e −5. Che cosa ne segue? Che l’argomento del valore assoluto, cioè l’espressione 2x + 1, deve essere uguale a cinque oppure a meno cinque. Solo allora l’equazione ha soluzione. Risolviamo quindi le equazioni 2x + 1 = 5 e 2x + 1 = −5. Le equazioni si risolvono come normali equazioni di primo grado. Otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

E la seconda soluzione:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Abbiamo così due soluzioni: x₁ = 2 e x₂ = −3. Possiamo provare a sostituirle nell’equazione di partenza. Per x = 2 otteniamo: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 e per x = −3 abbiamo: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Eliminazione del valore assoluto

Il procedimento precedente è però difficile da applicare quando l’equazione è più complicata. Per esempio questa:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Qui abbiamo già due espressioni dentro il valore assoluto, quindi dobbiamo scegliere un altro procedimento. Prima un esempio un po’ più semplice: che cosa succede all’espressione |x − 2|, se prendiamo x nell’intervallo (2; +∞)? L’espressione dentro il valore assoluto sarà sempre positiva. Se sostituiamo per esempio tre, otteniamo: 3 − 2 = 1. Se sostituiamo dieci, abbiamo: 10 − 2 = 8 e così via. Per qualsiasi numero di questo intervallo l’espressione dentro il valore assoluto è positiva. Come cambia allora il valore a causa del valore assoluto? In nessun modo. È un’osservazione importante. Se l’espressione sotto il valore assoluto è sempre positiva, possiamo eliminare il valore assoluto – è superfluo. Se prendiamo x nell’intervallo (2; +∞), vale l’uguaglianza |x − 2| = x − 2 (cioè abbiamo eliminato il valore assoluto).

E ora l’esempio opposto – che cosa succede se prendiamo x nell’intervallo (−∞; 2)? Quale sarà il valore dell’espressione dentro il valore assoluto, cioè il valore di x − 2? Sarà sempre negativo! Proviamo a sostituire uno: 1 − 2 = −1 oppure zero: 0 − 2 = −2. Che cosa fa il valore assoluto a questo valore? Lo trasforma in positivo, cambia il segno. Il cambio di segno si può ottenere moltiplicando per meno uno, perché vale 5 · (−1) = −5, ma anche −7 · (−1) = 7 e −15 · (−1) = 15.

Quindi, se prendiamo x nell’intervallo (−∞; 2), l’espressione dentro il valore assoluto sarà sempre negativa e il valore assoluto agirà cambiandole il segno – la moltiplicherà per −1. Possiamo così scrivere che per x appartenente a (−∞; 2) vale l’uguaglianza: |x − 2| = −(x − 2). Proviamo a sostituire per esempio zero. Prima nell’espressione con il valore assoluto: |0 − 2| = |−2| = 2 e ora nel secondo membro: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Come si vede, intervalli di questo tipo ci permettono di scomporre l’espressione con il valore assoluto in due espressioni diverse, che possiamo risolvere del tutto separatamente. È un vantaggio. La questione che resta è: come si trovano questi intervalli?

Il metodo degli zeri

Quando l’espressione x − 2 cambiava segno? Dalla parte precedente sappiamo che in tutto l’intervallo (−∞; 2) l’espressione è negativa e in tutto l’intervallo (2; +∞) è positiva. Com’è nel punto x = 2? Sostituendo scopriamo che 2 − 2 = 0, cioè è nulla. Non è un caso. Il motivo si vede meglio sul grafico di una funzione lineare:

Il grafico di una funzione lineare è una retta, che può intersecare l’asse x una sola volta e, quando lo interseca, cambia segno. Perciò, se una funzione lineare interseca l’asse x nel punto a, nell’intervallo (−∞; a) ha un segno diverso rispetto all’intervallo (a; +∞).

Perciò, se cerchiamo gli intervalli in cui una funzione lineare è positiva e quelli in cui è negativa, ci basta trovare il cosiddetto zero, cioè il punto x₀ in cui la funzione lineare f ha valore zero: f(x₀) = 0. Quindi, se cerchiamo gli intervalli in cui l’espressione x − 2 è positiva, come prima cosa risolviamo l’equazione x − 2 = 0. La soluzione è x = 2. Possiamo poi costruire gli intervalli: (−∞; 2) e (2; +∞). In questi intervalli continuiamo poi a risolvere l’equazione, ma con il valore assoluto già eliminato.

Finalmente di nuovo all’esercizio…

Molte righe fa abbiamo definito un esercizio:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Come lo risolviamo? Prima troviamo i punti in cui si annulla ciascuna espressione sotto il valore assoluto, cioè per le espressioni 4x + 2 e x − 1. L’espressione 4x + 2 si annulla per $x=-\frac{1}{2}$ e l’espressione x − 1 si annulla per x = 1. Poiché abbiamo due zeri, avremo in tutto tre intervalli. Ogni zero divide in qualche modo l’intervallo (−∞; +∞). Otteniamo quindi gli intervalli $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2};1]$ e (1; +∞). Scegliamo sempre gli intervalli in modo da coprire tutto l’intervallo (−∞; +∞).

Nel passo successivo dobbiamo stabilire se le espressioni sono positive o negative nei vari intervalli. Ci serve una tabella:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2};1]& (1;+\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Il segno meno − indica che l’espressione in quell’intervallo è negativa, il segno più + indica che è positiva. Come ci siamo arrivati? Abbiamo sostituito un numero qualsiasi dell’intervallo. Per esempio nell’intervallo centrale abbiamo potuto sostituire zero, che è il valore più comodo da calcolare. Allora per l’espressione 4x + 2 otteniamo 4 · 0 + 2 = 2 e per x − 1 abbiamo 0 − 1 = −1.

Suggerimento: se nel primo intervallo l’espressione è negativa e nel successivo positiva, in ogni eventuale intervallo ulteriore l’espressione sarà di nuovo positiva. Una funzione lineare non può cambiare segno due volte, vedi la figura qui sopra con il grafico di una funzione lineare.

A questo punto sappiamo in quali intervalli le varie espressioni sono positive o negative. Il calcolo successivo deve dividersi in tre passi: dobbiamo risolvere separatamente in ciascun intervallo.

Primo intervallo, cioè x appartiene a $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$. In questo intervallo entrambe le espressioni sono negative, quindi, se vogliamo eliminare il valore assoluto, entrambe devono cambiare segno. In questo intervallo risolviamo dunque l’equazione:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Questa equazione si risolve semplicemente con i principi di equivalenza:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Attenzione: dobbiamo controllare se la soluzione appartiene all’intervallo in cui ci stiamo muovendo. Stiamo infatti supponendo che x appartenga all’intervallo $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, quindi, se ottenessimo una soluzione che non appartiene a quell’intervallo, non potremmo usarla. Meno sette quinti si trova nell’intervallo $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, quindi è una soluzione valida dell’equazione.

Secondo intervallo, cioè x appartiene a $[-\frac{1}{2};1]$. In questo intervallo l’espressione 4x + 2 è positiva e l’espressione x − 1 è ancora negativa. Risolviamo quindi l’equazione

$$4x+2-(x-1)=6$$

Anche qui semplifichiamo senza difficoltà:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

La soluzione appartiene all’intervallo in cui lavoriamo? Sì. Abbiamo trovato un’altra soluzione dell’equazione di primo grado.

Terzo intervallo, cioè l’intervallo (1; +∞). In questo intervallo entrambe le espressioni sono positive, quindi possiamo eliminare il valore assoluto senza altre modifiche. Risolviamo quindi l’equazione:

$$4x+2+x-1=6$$

Questa equazione si risolve facilmente:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Abbiamo ottenuto un altro risultato, uguale a quello dell’intervallo precedente. Ma è una soluzione valida per l’intervallo in cui ci muoviamo? No! Ci muoviamo nell’intervallo aperto (1; +∞), e uno non appartiene a questo intervallo, quindi la soluzione trovata in questo terzo passo non può essere contata tra le soluzioni valide.

L’equazione di primo grado con valore assoluto ha due soluzioni, $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Soluzione grafica

Come una normale equazione di primo grado, anche questa si può risolvere graficamente. A sinistra abbiamo la funzione f(x) = |4x + 2|+|x − 1| e a destra g(x) = 6. Tracciamo questi due grafici – si intersecano in due punti. Le ascisse di questi punti sono le soluzioni dell’equazione.

L’insieme delle soluzioni S contiene quindi i valori $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.