Lineær ligning med numerisk værdi

Numerisk værdi er en funktion, der ikke ændrer et ikke-negativt tal og gør et negativt tal positivt. Numerisk værdi kan optræde, når vi løser lineære ligninger.

Repetition

Lad os genopfriske, hvordan den numeriske værdi beregnes og skrives. Udtrykket i den numeriske værdi skriver vi mellem lodrette streger sådan: |a|. Vi siger »den numeriske værdi af tallet a«. Der gælder så, at den numeriske værdi af et ikke-negativt tal er det samme tal. Eksempler: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Men den numeriske værdi af et negativt tal er et positivt tal: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Den numeriske værdi af nul er nul.

Et enkelt eksempel

Et eksempel på en enkel lineær ligning med numerisk værdi er ligningen: |x| = 3. Spørgsmålet er nu, hvornår den numeriske værdi giver tre som resultat? Det bliver to x — ét positivt og ét negativt; ligningen har altså to løsninger. Den første er lig med x₁ = 3, fordi |3| = 3. Den anden løsning er lig med x₂ = −3, fordi |−3| = 3.

Lad os prøve at ændre ligningen og gøre den sværere. |2x + 1| = 5 Inde i den numeriske værdi har vi nu et mere sammensat udtryk. Men vi kan gå helt på samme måde frem som lige før. Hvilke tal har den numeriske værdi fem? Igen 5 og −5. Hvad følger heraf? At det, der står inde i den numeriske værdi, altså udtrykket 2x + 1, skal være lig med fem eller minus fem. Kun så har ligningen en løsning. Vi løser altså ligningerne 2x + 1 = 5 og 2x + 1 = −5. Ligningerne løser vi som almindelige lineære ligninger. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Og den anden løsning:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Vi har altså to løsninger: x₁ = 2 og x₂ = −3. Dem kan vi prøve at indsætte i den oprindelige ligning. For x = 2 får vi: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, og for x = −3 har vi: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Fjernelse af den numeriske værdi

Den foregående fremgangsmåde er dog svær at anvende, når du har en mere sammensat ligning. For eksempel denne:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Her har vi allerede to udtryk i numerisk værdi, og derfor må vi vælge en anden fremgangsmåde. Først et lidt enklere eksempel: hvad gælder for udtrykket |x − 2|, hvis vi tager x fra intervallet ]2; ∞[? Udtrykket i den numeriske værdi bliver altid positivt. Hvis vi for eksempel indsætter tre, får vi: 3 − 2 = 1. Hvis vi indsætter ti, har vi: 10 − 2 = 8 osv. For ethvert tal i dette interval er udtrykket i den numeriske værdi positivt. Hvordan påvirker den numeriske værdi så værdien? Slet ikke. Det er en vigtig iagttagelse. Hvis udtrykket under den numeriske værdi altid er positivt, kan vi fjerne den numeriske værdi — den er overflødig. Hvis vi tager x fra intervallet ]2; ∞[, gælder altså ligheden |x − 2| = x − 2 (dvs. vi har fjernet den numeriske værdi).

Og nu det modsatte eksempel — hvad hvis vi tager x fra intervallet ]−∞; 2[? Hvad er værdien af udtrykket i den numeriske værdi, altså af udtrykket x − 2? Den bliver altid negativ! Vi prøver at indsætte en: 1 − 2 = −1 eller nul: 0 − 2 = −2. Hvad gør den numeriske værdi ved denne værdi? Den gør den positiv, dvs. den ændrer fortegnet. Ændringen af fortegn kan vi foretage ved at gange med minus en, for der gælder, at 5 · (−1) = −5, men også −7 · (−1) = 7 og −15 · (−1) = 15.

Hvis vi altså tager x fra intervallet ]−∞; 2[, bliver udtrykket i den numeriske værdi altid negativt, og den numeriske værdi virker så og ændrer udtrykkets fortegn — ganger det med −1. Vi kan således skrive, at for x fra ]−∞; 2[ gælder ligheden: |x − 2| = −(x − 2). Vi prøver at indsætte for eksempel nul. Først i udtrykket med den numeriske værdi: |0 − 2| = |−2| = 2 og nu i højre side: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Som du kan se, giver sådanne intervaller os mulighed for at dele et udtryk med numerisk værdi i to forskellige udtryk, som vi kan løse helt hver for sig. Det er en fordel. Spørgsmålet, der nu er tilbage, er, hvordan finder vi disse intervaller?

Nulpunktsmetoden

Hvornår skiftede udtrykket x − 2 fortegn? Af det foregående afsnit ved vi, at udtrykket i hele intervallet ]−∞; 2[ er negativt, og i hele intervallet ]2; ∞[ er det positivt. Hvordan er det i punktet x = 2? Ved at indsætte finder vi ud af, at det er nul: 2 − 2 = 0. Det er ikke tilfældigt. Grunden ses bedst på grafen for en lineær funktion:

Grafen for en lineær funktion er en linje, som kun kan skære x-aksen én gang, og når den skærer x-aksen, skifter den fortegn. Derfor gælder, at hvis en lineær funktion skærer x-aksen i punktet a, har den i intervallet ]−∞; a[ et andet fortegn end i intervallet ]a; ∞[.

Hvis vi leder efter de intervaller, hvor en lineær funktion er positiv, og hvor den er negativ, er det derfor nok at finde det såkaldte nulpunkt, altså punktet x₀, hvor den lineære funktion f har funktionsværdien nul: f(x₀) = 0. Hvis vi leder efter de intervaller, hvor udtrykket x − 2 er positivt, løser vi først ligningen x − 2 = 0. Løsningen er x = 2. Så kan vi danne intervallerne: ]−∞; 2[ og ]2; ∞[. I disse intervaller løser vi så videre ligningen, men nu med den numeriske værdi fjernet.

Endelig tilbage til eksemplet…

For mange linjer siden definerede vi eksemplet:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hvordan løser vi det? Først finder vi nulpunkterne for hvert udtryk under den numeriske værdi, altså for udtrykket 4x + 2 og x − 1. Udtrykket 4x + 2 har nulpunktet $x=-\frac{1}{2}$, og udtrykket x − 1 har nulpunktet x = 1. Fordi vi har to nulpunkter, får vi i alt tre intervaller. Hvert nulpunkt deler intervallet ]−∞; ∞[ op. Vi får altså i alt intervallerne $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, $[-\frac{1}{2};1]$ og ]1; ∞[. Intervallerne vælger vi altid, så de dækker hele intervallet ]−∞; ∞[.

I næste trin skal vi finde ud af, om udtrykkene er positive eller negative i de givne intervaller. Til det bruger vi en tabel:

$$\begin{array}{cccc}x& ]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[& [-\frac{1}{2};1]& ]1;\mathrm{\infty }[\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Tegnet minus − betyder, at udtrykket er negativt i det givne interval, tegnet plus + betyder, at det er positivt. Hvordan fandt vi ud af det? Vi indsatte et vilkårligt tal fra intervallet. I det midterste interval kunne vi for eksempel indsætte nul, hvilket er det nemmeste at regne med. Så får vi for udtrykket 4x + 2 værdien 4 · 0 + 2 = 2, og for x − 1 har vi 0 − 1 = −1.

Et tip: hvis udtrykket er negativt i det første interval og positivt i det næste, bliver udtrykket igen positivt i ethvert eventuelt yderligere interval. En lineær funktion kan ikke skifte fortegn to gange, se figuren ovenfor med grafen for en lineær funktion.

Nu ved vi, i hvilke intervaller hvilke udtryk er positive eller negative. Vores videre beregning må deles i tre trin: vi skal løse ligningen for sig i hvert interval.

Første interval, altså vi tager x fra $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$. I dette interval er begge udtryk negative, så hvis vi vil fjerne den numeriske værdi, skal begge udtryk skifte fortegn. I dette interval løser vi altså ligningen:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Denne ligning løser vi bare enkelt ved hjælp af ækvivalente omformninger:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Pas på, at vi skal kontrollere, om løsningen ligger i det interval, vi bevæger os i. Vi antager nemlig nu, at vi tager x fra intervallet $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, så hvis vi fik en løsning, der ikke ligger i dette interval, kan vi ikke bruge den. Minus syv femtedele ligger i intervallet $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, så dette er en gyldig løsning til ligningen.

Andet interval, altså vi tager x fra $[-\frac{1}{2};1]$. I dette interval er udtrykket 4x + 2 positivt, og udtrykket x − 1 er stadig negativt. Vi løser altså ligningen

$$4x+2-(x-1)=6$$

Igen omformer vi enkelt:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Ligger løsningen i det interval, vi arbejder i? Ja, det gør den. Vi har fundet endnu en løsning til den lineære ligning.

Tredje interval, altså intervallet ]1; ∞[. I dette interval er begge udtryk positive, så vi kan fjerne den numeriske værdi uden yderligere ændring. Vi løser altså ligningen:

$$4x+2+x-1=6$$

Denne ligning løser vi let:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Vi har fået endnu et resultat, det samme som i det foregående interval. Men er det en gyldig løsning for det interval, vi arbejder i? Nej! Vi bevæger os i det åbne interval ]1; ∞[, og tallet 1 hører ikke til dette interval, så den fundne løsning kan vi i dette tredje trin ikke regne med blandt de gyldige løsninger.

Den lineære ligning med numerisk værdi har to løsninger, $L=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Grafisk løsning

Ligesom en almindelig lineær ligning kan også denne løses grafisk. Til venstre har vi funktionen f(x) = |4x + 2|+|x − 1| og til højre g(x) = 6. Vi tegner disse to grafer — de skærer hinanden i to punkter. x-koordinaterne til disse punkter er ligningens løsninger.

Løsningsmængden L indeholder altså tallene $L=\{-\frac{7}{5},1\}$.